概率論與數(shù)理統(tǒng)計六七章習(xí)題答案

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1、第六章大數(shù)定理和中心極限定理一、大綱要求(1)了解契比雪夫不等式；(2)了解辛欽大數(shù)定律,伯努利大數(shù)定律成立的條件及結(jié)論；(3)了解獨立同分布的中心極限定理和棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理（二項分布以正態(tài)分布為極限分布）的條件和結(jié)論,并會用相關(guān)定理近似計算有關(guān)隨機(jī)事件的概率.二、重點知識結(jié)構(gòu)圖契比雪夫不等式不等式柯西-施瓦茨不等式伯努利大數(shù)定律大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律林德伯格-列維定理(獨立同分布中心極限定理)中心極限定理棣莫佛-拉普拉斯定理三、基本知識1.馬爾科夫不等式若為只取非負(fù)值的隨機(jī)變量,則對任意常數(shù)

2、,有.2.契比雪夫不等式若存在,則.3.辛欽大數(shù)定律定理1設(shè)是獨立同分布的隨機(jī)變量序列，且具有有限的數(shù)學(xué)期望，則對任意的,有4.伯努利大數(shù)定律定理2設(shè)，其中n=1,2,…，00，有5．獨立同分布的中心極限定理定理3(林德伯格-列維定理)設(shè)為獨立同分布的隨機(jī)變量,則對任意實數(shù)有式中,是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù),即6.棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理定理3(棣莫佛-拉普拉斯定理)設(shè)獨立同分布,的分布是則對任意實數(shù),有四、典型例題例1設(shè)隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2,方差分別為1和4,而相

3、關(guān)系數(shù)為-0.5,則根據(jù)契比雪夫不等式.解因為根據(jù)契比雪夫不等式所以例2某保險公司經(jīng)多年資料統(tǒng)計表明,在索賠戶中被盜戶占20%,在隨意抽查的100家索賠戶中以被盜的索賠戶數(shù)為隨機(jī)變量,利用中心極限定理,求被盜的索賠戶大于14戶且小于30戶的概率近似值.[分析]本題的隨機(jī)變量服從參數(shù)的二項分布.如果要精確計算,就要用伯努利二項公式:.如果求近似值,可用契比雪夫不等式估計.解由于,所以因此被盜的索賠戶大于14戶且小于30戶的概率近似值為0.927.例3某車間有200臺機(jī)床,它們彼此工作獨立,開工率都為0.6

4、，工作時耗電都為1kW,問供電所至少給這個車間多少度電，才能以99.9%的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn).解用表示工作的機(jī)床臺數(shù),則.設(shè)要向車間供電kW,則有由棣莫佛-拉普拉斯定理得即因此例4用契比雪夫不等式確定當(dāng)擲一均勻硬幣時,需擲多少次,才能保證使得出現(xiàn)正面的頻率在0.4~0.6之間的概率不小于90%,并用正態(tài)逼近計算同一個問題.解設(shè)需擲次，用表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，則，有契比雪夫不等式得所以.由棣莫佛-拉普拉斯定理得即,查表得,故.例5假設(shè)是獨立同分布的隨機(jī)變量,且,證明當(dāng)充分大時,隨機(jī)變量

5、近似服從正態(tài)分布,并指出其分布參數(shù).證由是獨立同分布的隨機(jī)變量序列可知,獨立同分布,且有,,由林德伯格-列維定理可知,對任意有即近似服從正態(tài)分布.例6有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的長度超過3m，現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)地取出100根，問其中至少有30根短于3m的概率是多少？解設(shè)則,記,則.由棣莫佛-拉普拉斯定理得例7假設(shè)男嬰的出生率為,某地區(qū)有7000多名產(chǎn)婦,試估計她們的生育情況.[分析]重伯努利實驗中出現(xiàn)的頻率依概率收斂于它的概率，當(dāng)很大時，有.解設(shè)顯然,獨立同分布且均服從分布,表示7000名產(chǎn)婦中

6、生男嬰的人數(shù),有伯努利大數(shù)定理得由于已是足夠大,因此即該地區(qū)估計有3581名男嬰出生.例8某電視機(jī)廠每月生產(chǎn)10000臺電視機(jī),但它的顯像管車間的正品率為0.8，為了以0.997的概率保證出廠的電視機(jī)都裝上正品的顯像管,該車間每月應(yīng)生產(chǎn)多少只顯像管?解設(shè)顯像管正品數(shù)為,月總產(chǎn)量為,則有,從而,為了使電視機(jī)都裝上正品的顯像管,則每月至少生產(chǎn)10000只正品顯像管,即所求為由棣莫佛-拉普拉斯定理得即由題意可知,,且較大,即,所以查表得,故因此,每月至少要生產(chǎn)只顯像管才能以0.997的概率保證出廠的10000

7、臺電視機(jī)都能裝上正品的顯像管.例9一養(yǎng)雞場購進(jìn)1萬個良種雞蛋,已知每個雞蛋孵化成雛雞的概率為0.84，每只雛雞發(fā)育成種雞的概率為0.90，試計算這批雞蛋得到種雞不少于7500只的概率.解設(shè),,令則諸獨立同分布,且顯然,表示10000個雞蛋育成的種雞數(shù),則,而根據(jù)棣莫佛-拉普拉斯定理可得于是,所求概率為因此,由這批雞蛋得到的種雞不少于7500只的概率為92%.五、課本習(xí)題全解6-1設(shè),再對利用契比雪夫不等式:故服從大數(shù)定理.6-2設(shè)出現(xiàn)7的次數(shù)為,則有由棣莫佛-拉普拉斯定理可得6-3由中心極限定理可知,近

8、似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,所以6-4設(shè)報各人數(shù)為,則.由棣莫佛-拉普拉斯定理可得6-5設(shè),則總保險費為(萬元)(1)當(dāng)死亡人數(shù)在達(dá)到人時,保險公司無收入.所以保險公司賺錢概率為因而虧本的概率為.(2)若利潤不少于40000，即死亡人數(shù)少于80人時,若利潤不少于60000，即死亡人數(shù)少于60人時,若利潤不少于80000，即死亡人數(shù)少于40人時,6-6設(shè)總機(jī)需備條外線才能有95%的把握保證每個分機(jī)外線不必等候,設(shè)隨機(jī)變量,則由中心極限定理可得6-7密