一階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)

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1、3.2一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。典型的一階系統(tǒng)微分方程式為?????????????(3.7)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為?????????????(3.8)式中T為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，K為系統(tǒng)的放大系數(shù)，y(t)為系統(tǒng)的輸出變量，x(t)為系統(tǒng)的輸入變量。3.2.1?一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為????????????????????????????(3.9)將式（3.9）展開為部分分式??????????????(3.10)對(duì)式（3.10）兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，得到??????????

2、???(3.11)式（3.10）即一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。圖3.4給出了響應(yīng)y(t)的變化曲線：這是一條指數(shù)曲線。在t=0時(shí)，曲線的斜率最大。?????????????(3.12)曲線斜率隨時(shí)間增加不斷下降。當(dāng)t時(shí)，斜率為零，動(dòng)態(tài)過程結(jié)束。這時(shí)的響應(yīng)記為=K，即單位階躍信號(hào)經(jīng)過了一階系統(tǒng)后被放大了K倍。過t=0點(diǎn)做響應(yīng)曲線的切線，與表示的直線交于P點(diǎn)。P點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間t=T，而此時(shí)響應(yīng)值y(T)=0.632K。工程上常用這個(gè)特征來判斷實(shí)驗(yàn)曲線是不是一階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。圖3.4一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)y(t)的瞬態(tài)響應(yīng)曲線從t=

3、0到逐漸變緩。y(t)變化的幾個(gè)典型值見表3.1。從表3.1可以看出，一階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的主要部分是在動(dòng)態(tài)過程初始階段內(nèi)完成的。表3.1?一階系統(tǒng)響應(yīng)的典型值時(shí)間t響應(yīng)y(t)t=Ty(t)=0.632Kt=2Ty(t)=0.865Kt=3Ty(t)=0.95Kt=4Ty(t)=0.982Kt=5Ty(t)=0.99K理論上來看，只有在時(shí)，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)動(dòng)態(tài)過程才能結(jié)束。在實(shí)際工程中，當(dāng)輸出響應(yīng)進(jìn)入到一定的誤差范圍后，就可以認(rèn)為動(dòng)態(tài)過程已經(jīng)結(jié)束。我們用調(diào)節(jié)時(shí)間來描述動(dòng)態(tài)過程的長(zhǎng)短。就是一個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。工業(yè)上常取

4、的誤差范圍為2%或5%，若取2%的誤差范圍，則若取5%的誤差范圍，則一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)是決定系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的參數(shù)。T的大小表明了一階系統(tǒng)慣性的大小。T越大，也越大，說明系統(tǒng)響應(yīng)變化得慢。T越小，即系統(tǒng)慣性小，也越小，輸出響應(yīng)變化得就快。3.2.2?一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)的拉普拉斯變換為展開成部分分式后得到?????????????(3.14)求（3.14）式的拉普拉斯變換，得到????????????????(3.15)圖3.5給出了一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線。從圖上可以看出，即使在，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，輸出與輸

5、入之間仍有差值。圖3.5一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)3.2.3?一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)由于單位脈沖函數(shù)拉普拉斯變換等于1，所以一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)在形式上等于一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)????????????(3.16)經(jīng)拉普拉斯變換后，由式（3.16）可得??????????????(3.17)圖3.6給出了一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)曲線。圖3.6一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)3.2.4?控制系統(tǒng)在任意輸入函數(shù)下的響應(yīng)以上我們討論了一階系統(tǒng)在幾種典型信號(hào)輸入下的響應(yīng)。有時(shí)，我們還需要得到控制系統(tǒng)在任意輸入函數(shù)作用下的輸出響應(yīng)。從式3.16可以知道，任

6、何控制系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)實(shí)際上就是該系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)的拉普拉斯反變換，記為g(t)：圖3.7給出了一個(gè)任意形式的輸入函數(shù)x(t)。我們可以用n個(gè)脈沖函數(shù)序列對(duì)x(t)進(jìn)行近似表示。設(shè)第i個(gè)脈沖函數(shù)的幅度為，脈沖寬度為，如圖3.7所示。當(dāng)脈沖寬度比系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)小得多時(shí)，可以認(rèn)為每一個(gè)脈沖函數(shù)就是一個(gè)理想脈沖。輸入函數(shù)x(t）就是這n個(gè)理想脈沖函數(shù)的疊加。即????????????(3.18)式中表示每個(gè)理想脈沖的強(qiáng)度，即每個(gè)理想脈沖包含的面積，則表明了該理想脈沖發(fā)生的時(shí)刻（或時(shí)間序列）。對(duì)應(yīng)于第i個(gè)理想脈沖的輸出是????

7、????????????(3.19)因?yàn)榫€性系統(tǒng)滿足疊加定理，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為????????????(3.20)在3.20式中，若,則系統(tǒng)對(duì)任意輸入函數(shù)x(t)的響應(yīng)就可以精確的得到?????????????(3.21)式（3.21）稱為函數(shù)x(t)和g(t)的卷積分，記為?????????????(3.22)圖3.7?任意形式的輸入函數(shù)圖3.8給出了任意輸入下系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。圖3.8任意輸入函數(shù)作用下的輸出仔細(xì)觀察典型的輸入函數(shù)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)拋物線函數(shù)求導(dǎo)?????????????(3.23)令a=v,則拋物線函數(shù)求導(dǎo)

8、后為斜坡函數(shù)。同樣，對(duì)斜坡函數(shù)求導(dǎo)????????????????(3.24)令v=,斜坡函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)就是階躍函數(shù)。而單位階躍函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)就是單位脈沖函數(shù)。線性定常系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)也有這種關(guān)系。一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為????????????(3.25)對(duì)式（3.25）積分??