有限差分方法概述

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1、有限差分法（FiniteDifferenceMethod，簡(jiǎn)稱FDM）是數(shù)值方法中最經(jīng)典的方法，也是計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問(wèn)題變?yōu)榇鷶?shù)問(wèn)題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡(jiǎn)單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。對(duì)于有限差分格式，從格式的精度來(lái)劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來(lái)

2、考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式?？紤]時(shí)間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見(jiàn)的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長(zhǎng)一般根據(jù)實(shí)際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來(lái)決定?！　?gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)方法。其基本的差分表達(dá)式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計(jì)算精度，后兩種格式為二階計(jì)算精度。通過(guò)對(duì)時(shí)間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計(jì)算格式。下面我們

3、從有限差分方法的基本思想、技術(shù)要點(diǎn)、應(yīng)用步驟三個(gè)方面來(lái)深入了解一下有限差分方法。1.基本思想有限差分算法的基本思想是把連續(xù)的定解區(qū)域用有限個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)格來(lái)代替，這些離散點(diǎn)稱作網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)；把連續(xù)定解區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用在網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來(lái)近似；把原方程和定解條件中的微商用差商來(lái)近似，積分用積分和來(lái)近似，于是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數(shù)方程組，即有限差分方程組，解此方程組就可以得到原問(wèn)題在離散點(diǎn)上的近似解。然后再利用插值方法便可以從離散解得到定解問(wèn)題在整個(gè)區(qū)域上的近似解。在采用數(shù)值計(jì)算方法求解偏微分方程時(shí)，再將每一處導(dǎo)數(shù)由有限

4、差分近似公式替代，從而把求解偏微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成求解代數(shù)方程的問(wèn)題，即所謂的有限差分法。2.技術(shù)要點(diǎn)如何根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)將定解區(qū)域作網(wǎng)格剖分；如何把原微分方程離散化為差分方程組以及如何解此代數(shù)方程組。此外為了保證計(jì)算過(guò)程的可行性和計(jì)算結(jié)果的正確性，還需從理論上分析差分方程組的性態(tài)，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收斂性和穩(wěn)定性。對(duì)于一個(gè)微分方程建立的各種差分格式，為了有實(shí)用意義，一個(gè)基本要求是它們能夠任意逼近微分方程，這就是相容性要求。另外，一個(gè)差分格式是否有用，最終要看差分方程的精確解能否任意逼近微分方程的解，這就是收斂性的概念。此外，

5、還有一個(gè)重要的概念必須考慮，即差分格式的穩(wěn)定性。因?yàn)椴罘指袷降挠?jì)算過(guò)程是逐層推進(jìn)的，在計(jì)算第n+1層的近似值時(shí)要用到第n層的近似值，直到與初始值有關(guān)。前面各層若有舍入誤差，必然影響到后面各層的值，如果誤差的影響越來(lái)越大，以致差分格式的精確解的面貌完全被掩蓋，這種格式是不穩(wěn)定的，相反如果誤差的傳播是可以控制的，就認(rèn)為格式是穩(wěn)定的。只有在這種情形，差分格式在實(shí)際計(jì)算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精確解。關(guān)于差分格式的構(gòu)造一般有以下3種方法。最常用的方法是數(shù)值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫積分插值法，因?yàn)樵趯?shí)際問(wèn)題中得出的微分方程常常反映物

6、理上的某種守恒原理，一般可以通過(guò)積分形式來(lái)表示。此外還可以用待定系數(shù)法構(gòu)造一些精度較高的差分格式。3.基本步驟有限差分法求解偏微分方程的步驟如下：①區(qū)域離散化，即把所給偏微分方程的求解區(qū)域細(xì)分成由有限個(gè)格點(diǎn)組成的網(wǎng)格；②近似替代，即采用有限差分公式替代每一個(gè)格點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；③逼近求解。換而言之，這一過(guò)程可以看作是用一個(gè)插值多項(xiàng)式及其微分來(lái)代替偏微分方程的解的過(guò)程。換而言之，這一過(guò)程可以看作是用一個(gè)插值多項(xiàng)式及其微分來(lái)代替偏微分方程的解的過(guò)程。在第一步中，我們通過(guò)所謂的網(wǎng)絡(luò)分割法，將函數(shù)定義域分成大量相鄰而不重合的子區(qū)域。通常采用的是規(guī)則的分割方式。這樣

7、可以便于計(jì)算機(jī)自動(dòng)實(shí)現(xiàn)和減少計(jì)算的復(fù)雜性。網(wǎng)絡(luò)線劃分的交點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。若與某個(gè)節(jié)點(diǎn)P相鄰的節(jié)點(diǎn)都是定義在場(chǎng)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)，則P點(diǎn)稱為正則節(jié)點(diǎn)；反之，若節(jié)點(diǎn)P有處在定義域外的相鄰節(jié)點(diǎn)，則P點(diǎn)稱為非正則節(jié)點(diǎn)。在第三步中，數(shù)值求解的關(guān)鍵就是要應(yīng)用適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，求得特定問(wèn)題在所有這些節(jié)點(diǎn)上的離散近似值。差分方程，又叫做差分格式，從格式的精度來(lái)劃分，有一階格式、二階格式和高階格式；從差分的空間形式來(lái)考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式；考慮時(shí)間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見(jiàn)的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構(gòu)成不同

8、的差分格式。向前差分(forworddifference）：向后差分(backworddifference)：中心差分(c