2[1].2估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)

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1、§2估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題：用不同的方法求出的同一參數(shù)的估計(jì)量可能不同，哪個(gè)估計(jì)量更好？怎樣衡量？2.1無(wú)偏估計(jì)引例：有一大批產(chǎn)品，廢品率為未知，現(xiàn)任取件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，獲取子樣觀測(cè)值，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)未知參數(shù).如果，則不利于產(chǎn)品賣(mài)方；如果，則不利于產(chǎn)品買(mǎi)方。事實(shí)上，的值隨每次抽樣結(jié)果而變，因此自然希望抽樣檢驗(yàn)長(zhǎng)期進(jìn)行的話，在平均意義下能有一個(gè)不偏不倚的結(jié)果，即.——這就是估計(jì)量的無(wú)偏性要求。定義：設(shè)是未知參數(shù)的估計(jì)量，①若，則稱是的無(wú)偏估計(jì)(unbiasedestimator)，簡(jiǎn)記為UE；②若，則稱是的有偏估計(jì)(biasedestimator)；③若，則稱是的漸近無(wú)偏

2、估計(jì)(asymptoticunbiasedestimator).例2.2.1是來(lái)自母體的一個(gè)子樣，證明：是的無(wú)偏估計(jì)，但子樣方差不是的無(wú)偏估計(jì)。證明：，故是的無(wú)偏估計(jì)；故不是的無(wú)偏估計(jì)，但由于故是的漸近無(wú)偏估計(jì).為得的無(wú)偏估計(jì)，對(duì)進(jìn)行修正（稱為糾偏），令：則.即是的無(wú)偏估計(jì)，此即修正樣本方差.例2.2.2設(shè)母體，則是的無(wú)偏估計(jì).例2.2.3是來(lái)自母體的一個(gè)子樣，證明：是的無(wú)偏估計(jì)。證明：，故即：是的無(wú)偏估計(jì)。證畢.例2.2.4，①的矩估計(jì)量，②的最大似然估計(jì)，它們是的無(wú)偏估計(jì)嗎？解：①，故是的無(wú)偏估計(jì).②是來(lái)自母體的一個(gè)子樣，故（1）代入（1）式得：.不是的無(wú)偏估計(jì)，

3、只是一個(gè)漸近無(wú)偏估計(jì).說(shuō)明：①對(duì)進(jìn)行糾偏，令：，則，即為的無(wú)偏估計(jì)。②同一參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)并不唯一?！绾卧龠M(jìn)一步判別各無(wú)偏估計(jì)量的好壞？2.2優(yōu)效估計(jì)（1）有效性定義：設(shè)都是的無(wú)偏估計(jì)，若對(duì)于任意子樣容量n有，則稱比有效(efficiency)。例2.2.5在上例中，的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)與哪個(gè)更有效？解：其中，故更有效.例2.2.6是來(lái)自母體的一個(gè)子樣，未知，記，，證明：都是的無(wú)偏估計(jì)，其中最有效。證明:故：都是的無(wú)偏估計(jì)，，即：中最有效。證畢（2）最小方差無(wú)偏估計(jì)定義：若的一切具有二階矩的無(wú)偏估計(jì)中，滿足：對(duì)的任意無(wú)偏估計(jì)，都有，則稱是的最小方差無(wú)偏估計(jì)(minimum

4、varianceunbiasedestimator)。用定義判定一個(gè)估計(jì)量是否最小方差無(wú)偏估計(jì)一般較難，下面討論無(wú)偏估計(jì)量的方差的下界。（3）羅-克拉美（R-C）不等式①對(duì)于連續(xù)母體情形，有定理：設(shè)是實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)開(kāi)區(qū)間，是母體的一個(gè)分布密度函數(shù)族，是來(lái)自母體的子樣，是未知參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，如果母體及滿足正則條件：(ⅰ)集合：與無(wú)關(guān)；(ⅱ)存在,且對(duì)中的一切有：，及其中；(ⅲ)則有不等式此不等式稱為R-C不等式，稱為R-C下界.例如：指數(shù)分布的母體滿足條件(ⅰ)，而均勻分布的母體不滿足.②對(duì)于離散母體情形，類似條件下有其中.③有關(guān)計(jì)算中，有時(shí)用到如下等式：對(duì)連續(xù)型母體，

5、對(duì)離散型母體，（4）優(yōu)效估計(jì)定義:①若的無(wú)偏估計(jì)的方差達(dá)到R-C下界,即，則稱是的優(yōu)效估計(jì)(optimalefficientestimator)；②若的無(wú)偏估計(jì)為,則稱為的(有)效率(efficiency),顯然，優(yōu)效估計(jì)的(有)效率為1）；③若的無(wú)偏估計(jì)滿足：,則稱是的漸近優(yōu)效估計(jì)(asymptoticoptimalefficientestimator).例2.2.7,問(wèn)是否為未知參數(shù)的優(yōu)效估計(jì)？解:①，故是的無(wú)偏估計(jì).②③求R-C下界母體分布律為，故即：是的優(yōu)效估計(jì).例2.2.8設(shè)母體的分布密度為,問(wèn)是否為未知參數(shù)的優(yōu)效估計(jì)？解:①，故是的無(wú)偏估計(jì).②.③求R-C

6、下界即：是的優(yōu)效估計(jì).例2.2.9,問(wèn)是否分別為的優(yōu)效估計(jì)？解:（?。?duì)于，①，故是的無(wú)偏估計(jì).②.③求R-C下界母體分布密度為，故（1）由（1）得：，故即：是的優(yōu)效估計(jì).（ⅱ）對(duì)于①，故是的無(wú)偏估計(jì).②，，.③求R-C下界由（1）式知：（2）從而，故不是的優(yōu)效估計(jì).但，故是的漸近優(yōu)效估計(jì).注：①事實(shí)上可以證明，已經(jīng)是的最小方差無(wú)偏估計(jì),這說(shuō)明的優(yōu)效估計(jì)不存在.②在滿足正則條件的估計(jì)量族范圍內(nèi)，優(yōu)效估計(jì)是最小方差無(wú)偏估計(jì).2.3相合估計(jì)事實(shí)上，與子樣容量有關(guān)，對(duì)于估計(jì)量的無(wú)偏性、有效性的討論都是在取定的情形下進(jìn)行的。而當(dāng)時(shí)，形成一個(gè)隨機(jī)變量序列，自然希望依概率收斂于待

7、估參數(shù)本身。（1）定義:若當(dāng)時(shí),,則稱是的相合估計(jì)(consistentestimator，或稱為一致估計(jì)).這樣，充分大時(shí)（即對(duì)于大子樣），與充分接近幾乎是必然的，從而可以用一次抽樣所得的去估計(jì).（2）結(jié)論：①，分別是的相合估計(jì).②也是的相合估計(jì).證明:①Ch1§1已證:時(shí)，,故：，分別是的相合估計(jì).②因?yàn)?數(shù)列，由依概率收斂的性質(zhì)知，故：也是的相合估計(jì).常用估計(jì)量的優(yōu)良特性：無(wú)偏性漸進(jìn)無(wú)偏性一致性(相合性)有效性優(yōu)效估計(jì)漸進(jìn)優(yōu)效估計(jì)最小方差無(wú)偏估計(jì)√√母體是0-1分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布時(shí)√√母體是正態(tài)分布時(shí)母體是正態(tài)分布時(shí)√√