構(gòu)建數(shù)學(xué)模型巧解應(yīng)用題

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1、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型巧解應(yīng)用題許多排列、組合應(yīng)用題直接求解往往較為困難，若能認(rèn)真閱讀理解題意，抽象出其中的數(shù)量關(guān)系，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來求解，則簡(jiǎn)捷、巧妙，同時(shí)也能培養(yǎng)同學(xué)們的探索能力和創(chuàng)新能力．下面舉例說明．　　一、構(gòu)建方程模型　　例１　上一個(gè)有10級(jí)的臺(tái)階，每步可上一級(jí)或兩級(jí)，共有多少種上臺(tái)階的方法？解析：設(shè)x表示上一級(jí)臺(tái)階的步數(shù)，y表示上兩級(jí)臺(tái)階的步數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，6步走完10級(jí)臺(tái)階的方法為種；　　當(dāng)對(duì)應(yīng)的的取值分別為5，3，2，1，0相對(duì)應(yīng)的上臺(tái)階的方法為和．　　故總有上臺(tái)階的方法為種．　　點(diǎn)評(píng)：構(gòu)建方程模型的關(guān)鍵是：找到等量關(guān)系，正確列出方程．　　二、構(gòu)建不

2、等式模型　　例2　某電腦用戶計(jì)劃使用不超過500元的資金購買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3件，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有（　?。　。粒?種Ｂ．6種Ｃ．7種Ｄ．8種解析：設(shè)買單片軟件x件，盒裝磁盤y盒，則命題轉(zhuǎn)化為不等式組：的解的個(gè)數(shù)．不難求得為其解，所以不同的選購方式共有7種．　　點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意分析不等關(guān)系，通過設(shè)元正確列出不等式組是解題的關(guān)鍵．　　三、構(gòu)建數(shù)列模型　　例3　跳格游戲：如圖1，人從格外只能進(jìn)入第1格，在格中每次可向前跳1格或2格，那么人從格外跳到第8格的方法種數(shù)為（　　）　　Ａ．21Ｂ．26

3、Ｃ．17Ｄ．13　　解析：設(shè)跳到第n格的方法種數(shù)為，則到達(dá)第n格的方法有兩類：①向前跳1格到達(dá)第n格，方法數(shù)為；②向前跳2格到達(dá)第n格，方法數(shù)為，則由分類加法計(jì)數(shù)原理知：，由數(shù)列的遞推關(guān)系得該數(shù)列的前8項(xiàng)為１，1，2，3，5，8，13，21．所以人從格外跳到第8格的方法種數(shù)為21種．　　點(diǎn)評(píng)：本題通過數(shù)列模型，考查了根據(jù)邏輯推理進(jìn)行分類討論的能力．　　四、構(gòu)建立體幾何模型　　例４　如圖2②，A，B，C，D為海上的四個(gè)小島，要建三座橋，將這四個(gè)小島連接起來，則不同的建橋方案共有（　?。┙馕觯喝鐖D2①，構(gòu)造三棱錐，四個(gè)頂點(diǎn)表示四個(gè)小島，六條棱表示連接任意兩島的

4、橋梁．由題意，只需求出從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法，這可由間接法完成：從六條棱中任取三條棱的不同取法為種，任取三條共面棱的不同取法為4種，所以從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法為種．　　點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)問題特征，巧妙地構(gòu)建恰當(dāng)?shù)牧Ⅲw幾何圖形，用幾何知識(shí)去解，顯得直觀清晰、簡(jiǎn)潔明快．　　五、構(gòu)建隔板模型　　例5　把20個(gè)相同的球全部裝入編號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中的球數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，問有多少種不同的裝法．　　解法一：運(yùn)用隔板法必須同時(shí)具備以下三個(gè)條件：　　①所有元素必須相同．②所有元素必須分完．③每組至少有一個(gè)元素．　　此例

5、有限制條件，不能直接運(yùn)用隔板法．但可轉(zhuǎn)化為隔板問題．向1，2，3號(hào)三個(gè)盒子中分別裝入0，1，2個(gè)球后還剩下17個(gè)球，然后再把這17個(gè)小球分成3份，每份至少一球，運(yùn)用隔板法，共有種不同的分法．　　解法二：此例可轉(zhuǎn)化為不同的兩類元素，即小球和隔板的排列問題，向1，2，3號(hào)三個(gè)盒子中分別裝入1，2，3個(gè)球后還剩下14個(gè)球，然后再將這14個(gè)球裝入１，２，３號(hào)三個(gè)盒子中的某幾個(gè)（不再要求每個(gè)盒子必須有球），故可從這14個(gè)球和2個(gè)隔板所占的16個(gè)位置中選出2個(gè)位置放隔板，剩下的位置放小球即可．故共有種不同的分法．　　點(diǎn)評(píng)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，把握問題的本質(zhì)，通過聯(lián)想、類比

6、是構(gòu)建隔板模型的關(guān)鍵．　　六、構(gòu)建郵筒模型例6　若集合滿足，則稱為集合的一個(gè)分析；并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與為集合的同一種分拆，則集合的不同分拆種數(shù)為　　　?。　〗馕觯航?shù)學(xué)模型，如圖3，設(shè)集合為郵筒①，設(shè)集合為郵筒②，設(shè)集合為郵筒③，設(shè)三個(gè)元素為三封信，則問題轉(zhuǎn)化為我們非常熟悉的“把三封信投入到三個(gè)郵筒共有多少種投遞方法”的問題．可分三步進(jìn)行求解：第一步投，共有種投法；第二步投，共有種投法；第三步投，共有種投法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有種投法，即集合的不同分拆種數(shù)為27．　　點(diǎn)評(píng)：本題屬集合類信息遷移題，若直接分類求解則較繁．這里通過構(gòu)建郵筒模型轉(zhuǎn)化求解

7、，則思路清晰、圖文并茂、運(yùn)算簡(jiǎn)煉、頗為有趣．