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《中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常用的幾個(gè)重要定理》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、數(shù)學(xué)競(jìng)賽中幾個(gè)重要定理1、梅涅勞斯定理：如果在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上有點(diǎn)D、E、F且D、E、F三點(diǎn)共線，則=12、梅涅勞斯定理的逆定理：如果在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上有點(diǎn)D、E、F，且滿足=1，則D、E、F三點(diǎn)共線.【例1】已知△ABC的重心為G，M是BC邊的中點(diǎn)，過G作BC邊的平行線AB邊于X，交AC邊于Y，且XC與GB交于點(diǎn)Q，YB與GC交于點(diǎn)P.證明：△MPQ∽△ABC17【例2】以△ABC的底邊BC為直徑作半圓，分別與邊AB，AC交于點(diǎn)D和E，分別過點(diǎn)D，E
2、作BC的垂線，垂足依次為F，G，線段DG和EF交于點(diǎn)M.求證：AM⊥BC【例3】四邊形ABCD內(nèi)接于圓，其邊AB，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，AD和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，過Q作該圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn).求證：P，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.17【練習(xí)1】設(shè)凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)M，過M作AD的平行線分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，P是以O(shè)為圓心，以O(shè)M為半徑的圓上一點(diǎn).求證：∠OPF=∠OEP【練習(xí)2】在△ABC中，∠A=900，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BD上，AE的延長(zhǎng)線交BC于
3、F.若BE：ED=2AC：DC，則∠ADB=∠FDC17塞瓦定理：設(shè)O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，AO、BO、CO分別交對(duì)邊于N、P、M，則塞瓦定理的逆定理：設(shè)M、N、P分別在△ABC的邊AB、BC、CA上，且滿足，則AN、BP、CM相交于一點(diǎn).【例1】BE是△ABC的中線，G在BE上，分別延長(zhǎng)AG，CG交BC，AB于點(diǎn)D，F(xiàn)，過D作DN∥CG交BG于N，△DGL及△FGM是正三角形.求證：△LMN為正三角形.17【例2】在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)=，E是AC中點(diǎn).AD與BE交于O，CO交AB于F求四邊形B
4、DOF的面積與△ABC的面積的比【練習(xí)1】設(shè)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，使∠BPA=∠CPA，G是線段AP上的一點(diǎn)，直線BG，CG分別交邊AC，AB于E，F(xiàn).求證：∠BPF=∠CPE【練習(xí)2】在△ABC中，∠ABC和∠ACB均為銳角.D是BC邊BC上的內(nèi)點(diǎn)，且AD平分∠BAC，過點(diǎn)D作垂線DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q，CP于BQ相交于K.求證：AK⊥BC17托勒密定理：四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，則有AB·CD+AD·BC=AC·BD【例1】已知在△ABC中，AB>AC，∠A的一個(gè)外角的平分線交△ABC的外
5、接圓于點(diǎn)E，過E作EF⊥AB，垂足為F.求證：2AF=AB-AC【例2】經(jīng)過∠XOY的平分線上的一點(diǎn)A，任作一直線與OX及OY分別相交于P，Q.求證：+為定值17【例3】解方程+=【練習(xí)1】設(shè)AF為⊙O1與⊙O2的公共弦，點(diǎn)B，C分別在⊙O1，⊙O2上，且AB=AC，∠BAF，∠CAF的平分線交⊙O1，⊙O2于點(diǎn)D，E.求證：DE⊥AF【練習(xí)2】⊙O為正△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，在弧BC上任取一點(diǎn)P（與B，C不重合）.設(shè)E，F(xiàn)分別為△PAB，△PAC的內(nèi)心.證明：PD=∣PE-PF∣西姆松定理
6、：點(diǎn)P是△ABC外接圓周上任意一點(diǎn)，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥17AB，D、E、F為垂足，則D、E、F三點(diǎn)共線，此直線稱為西姆松線.【例1】過正△ABC外接圓的弧AC上點(diǎn)P作PD⊥直線AB于D,作PE⊥AC于E,作PF⊥BC于F.求證：+=【練習(xí)1】設(shè)P為△ABC外接圓周上任一點(diǎn)，P點(diǎn)關(guān)于邊BC，AC所在的直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為P1，P2.求證：直線P1P2經(jīng)過△ABC的垂心.三角形的五心內(nèi)心17【例1】設(shè)點(diǎn)M是△ABC的BC邊的中點(diǎn)，I是其內(nèi)心，AH是BC邊上的高，E為直線IM與AH的交點(diǎn).求證：AE
7、等于內(nèi)切圓半徑r【例2】在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A的平分線AD交△ABC的外接圓于K.O，I分別為△ABC的外心，內(nèi)心.求證：OI⊥AK【練習(xí)】在△ABC中，∠BAC=300，∠ABC=700，M為形內(nèi)一點(diǎn)，∠MAB=∠MCA=200求∠MBA的度數(shù).外心【例1】銳角△ABC的外心為O，線段OA，BC的中點(diǎn)為M，N，∠ABC=4∠OMN，17∠ACB=6∠OMN.求∠OMN【例2】在等腰△ABC中，AB=BC，CD是它的角平分線，O是它的外心，過O作CD的垂線交BC于E，再過E作C
8、D的平行線交AB于F，證明：BE=FD.【練習(xí)】1、⊙O1與⊙O2相交于P，Q，⊙O1的弦PA與⊙O2相切，⊙O2的弦PB與⊙O1相切.設(shè)△PAB的外心為O，求證：OQ⊥PQ17重心【例1】在△ABC中，G為重心，P是形內(nèi)一點(diǎn)，直線PG交直線BC，CA，AB于F，E，D.求證：++=3【例2】已知△ABC的重心G和內(nèi)心I的連線GI∥BC，求證：AB+AC=2BC【練習(xí)】1、設(shè)M為△ABC的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，求△ABC的面
