淺談導(dǎo)數(shù)定義及其應(yīng)用

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1、淺談導(dǎo)數(shù)定義及其應(yīng)用淺談導(dǎo)數(shù)定義及其應(yīng)用淺談導(dǎo)數(shù)定義及其應(yīng)用淺談導(dǎo)數(shù)定義及其應(yīng)用第3期(總16期)2005年9月河北能源職業(yè)技術(shù)學(xué)院J,,urnalofHebeiergyInstituteofVocationandI’ochnolo~‘.3(sIllT1NI1.I6)Sep.2005文章編號(hào):1671—3974(2005)03—0088—03淺談導(dǎo)數(shù)定義及其應(yīng)用施榮權(quán),孫紅明(泰州市電大靖江分校,江蘇靖江214500)摘要:在各類升學(xué)考試《高等數(shù)學(xué)》試卷中都涉及導(dǎo)數(shù)定義的題目,考生失分率高,主要原因是

2、學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)定義不夠重視,對(duì)導(dǎo)數(shù)概念理解不夠透徹.本文對(duì)導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行剖析,將導(dǎo)數(shù)定義延拓并論證,結(jié)合例題突出對(duì)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義求極限,求導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn),旨在幫助學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)定義及其應(yīng)用.關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù)定義;求極限:計(jì)算導(dǎo)數(shù);抽象函數(shù)求導(dǎo)中圖分類號(hào):0172文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:AElementaryIntroduction011theDefinitionandApplicationofDerivativeSHIRong?—quanSUNHong?-mingAbstract:Thetidesaboutthedefiniti

3、onofderivativeareinvolvedin”AdvancedMathematics”papersofallkindsofentranceexam.Themainreasonwhyexamineeslosesomanymarksisthatthestudentspaynomoreattentiontothedefinitionofderivativeandcantunderstandtheconceptofderivativecorn—pletely.isessayfocusesonanal

4、yzingthedefinitionofderivative.promotingandarguingit;emphasi—zingthekeypointsinapplyingthedefinitionofderivativetocalculatelimitandderivativebyusingex-amples.eessaymainobjectiveistohelpstudentsmasterthedefinitionofderivativeanditsapplica—tion.Keywords:t

5、hedefinitionofderivative;calculatelimit;calculatederivative;calculatederivativeinab-stractfunction近年來(lái),在研究生,專升本,專轉(zhuǎn)本等人學(xué)考試試卷中經(jīng)常出現(xiàn)涉及導(dǎo)數(shù)定義(概念)的題目,統(tǒng)計(jì)資料反映考生這部分失分率較高,究其原因主要是學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)定義不太重視,導(dǎo)數(shù)概念理解不夠透徹,而導(dǎo)數(shù)定義在求極限,導(dǎo)數(shù)計(jì)算和證明中都是十分重要的.波里亞在《怎樣解題》一書中指出“回顧定義”是一項(xiàng)重要的智力活動(dòng),面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題

6、,”如果我們只知道概念的定義,別無(wú)其他,我們就不得不回到定義.”本文就導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行剖析,結(jié)合例題對(duì)導(dǎo)數(shù)定義應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行探討,以期對(duì)學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)定義及其應(yīng)用有所幫助.一,導(dǎo)數(shù)定義及其延拓限眾所周知,函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)(‰)定義源于極原始定義:=…lim(1)或=～lim- c≠0)推論2:若)在及其鄰域內(nèi)可導(dǎo)()在.及其鄰域內(nèi)連續(xù),且當(dāng)a一0,一0,y一0時(shí)有一后,則有一kf.)(4)二,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義求極限應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義推論1和推論2可以很方便地求解一些特殊類型的極限例1:設(shè))在=.處可導(dǎo),求limnil(

7、xO+)一f(.一音)][錯(cuò)解]zm.+)一f(一)]n—+∞凡凡m圭令,.f(xo+2t)一f(xo—t)=‘tm—l—加f,.f(xo+2t)?2一f.一t)?(一1)“t---d}———————r————一l:3f(Xo)其中t一0z’:o+2￡一.一一(o)t,:.一t_o_-’_廠(0)[分析]上面解法有三處錯(cuò)誤:其一本題是數(shù)列極限(變量變化過程不連續(xù))不能直接用羅必達(dá)法則;其二在①處要求)在.的鄰域內(nèi)可導(dǎo),而題目?jī)H給出了在點(diǎn).處可導(dǎo)的條件,因此不能用羅必達(dá)法則;其三在②處利用了一階導(dǎo)數(shù)f)

8、在.處的連續(xù)性,題目條件中也未給出.[正解]由定義式(2),’1z,n[o+)一f(.一—一)]mf(x二f(x!二圭令o+三)一0一.:————廣—令÷:2:3f(.)或直接應(yīng)用推論l的(3)式求解一(一)?.?旦——一3‘1/1,?‘一limn.+)一f(.一音)]:3f4-.)n一凡凡例2計(jì)算z呈__二—tan[分析]直接用羅必達(dá)法則求解較繁,若直接應(yīng)用推論2的(4)式求解則很方便.[解答]設(shè)f(x):e則fO):1由(4)式原式:z:咖f<