第02講 矢量分析與場(chǎng)論(2)

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1、第02講本節(jié)內(nèi)容1，方向?qū)?shù)2，梯度3，散度4，旋度5，正交坐標(biāo)系第一章矢量分析與場(chǎng)論（2）1，數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)1.1方向?qū)?shù)由上節(jié)可知，數(shù)量場(chǎng)的分布情況，可以借助于等值面或等值線來(lái)了解，但這只能大致地了解數(shù)量場(chǎng)中物理量u的整體分布情況。而要詳細(xì)地研究數(shù)量場(chǎng)，還必須對(duì)它作局部性的了解，即要考察物理量u在場(chǎng)中各點(diǎn)處的鄰域內(nèi)沿每一方向的變化情況。為此，引入方向?qū)?shù)的概念。M0ρlM設(shè)是數(shù)量場(chǎng)中的一點(diǎn)，從出發(fā)沿某一方向引一條射線，在上的鄰近取一動(dòng)點(diǎn)M，，若當(dāng)時(shí)（即）：的極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)。記

2、為，即：可見，方向?qū)?shù)是函數(shù)在點(diǎn)處沿方向?qū)嚯x的變化率。當(dāng)時(shí)，表示在處u沿l方向是增加的，反之就是減小的。在直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù)有以下定理所述的計(jì)算公式：[定理]若函數(shù)在點(diǎn)處可微，，，為方向的方向余弦。則u在處沿方向的方向?qū)?shù)必存在，且：證：M坐標(biāo)為∵u在點(diǎn)可微，故：是比高階的無(wú)窮小。兩邊除以得兩邊取時(shí)的極限得例求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)。解：方向的方向余弦為：，，，，，，∴2，梯度2.1．概念方向?qū)?shù)為在給定點(diǎn)處沿某方向變化率。但從場(chǎng)中一點(diǎn)出發(fā)無(wú)窮多方向，通常不必要更不可能研究所有方向的變化率。人們往往只關(guān)

3、心沿何方向變化率最大，此變化率為多少？下從方向?qū)?shù)的計(jì)算公式出發(fā)來(lái)討論此問(wèn)題。∵、、為方向的方向余弦∴方向的單位矢量可表示為：若把，，看成是某矢量的三分量。即：則：在給定點(diǎn)處為一常矢量。由上式，在方向上的投影恰等于函數(shù)u在該方向上的方向?qū)?shù)。顯然，當(dāng)與的方向一致時(shí)，即時(shí)，方向?qū)?shù)取得最大值，或說(shuō)沿方向的方向?qū)?shù)最大，此最大值為：這樣即找到了一個(gè)矢量，其方向?yàn)樽兓首畲?，且其模即為最大變化率，該矢量稱函數(shù)在給定點(diǎn)處的梯度。在數(shù)量場(chǎng)中的一點(diǎn)M處，其方向?yàn)楹瘮?shù)在M點(diǎn)處變化率最大的方向，其模恰好等于此最大變化率的矢量，稱為

4、在M點(diǎn)處的梯度，記為：需指出，梯度的定義與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，它由數(shù)量場(chǎng)的分布所決定，在不同的坐標(biāo)系中只是表達(dá)形式不同。前面已得出其在直系中的表達(dá)式：從此公式可以看出，梯度在形式上可以視為矢量微分算子與函數(shù)u的乘積，算子稱為哈密爾頓算子。所以梯度又常表示為。2．2．梯度的性質(zhì)1°梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系：在某點(diǎn)M處沿任一方向的方向?qū)?shù)等于該點(diǎn)處的梯度在此方向上的投影。2°梯度與等值面的關(guān)系：場(chǎng)中每一點(diǎn)M處的梯度，垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面，且指向增大一方。這是因?yàn)辄c(diǎn)M處的三個(gè)分量，，恰為過(guò)M點(diǎn)的等值面的法線方向數(shù)，即梯度在其法線方向

5、上，故垂直于此等值面。又因?yàn)閡沿方向的方向?qū)?shù)即沿方向是增加的，或者說(shuō)指向增大一方。等值面和方向?qū)?shù)均與梯度存在一種比較理想的關(guān)系，這使得梯度成為研究數(shù)量場(chǎng)的一個(gè)極為重要的矢量。例試證明點(diǎn)的矢徑的模的梯度。證：，，∴例求在處沿方向的。解法1：直接由公式（略）解法2：作為梯度在上投影，，在處，，，∴M處2.3．梯度的運(yùn)算法則1°（c為常數(shù)）2°（c為常數(shù)）3°4°5°6°例已知位于原點(diǎn)處的點(diǎn)電荷q在其周圍空間任一點(diǎn)處產(chǎn)生的電位為（），且知電場(chǎng)強(qiáng)度，求。解：由法則6°：3矢量場(chǎng)的通量與散度3.1、通量MSds為區(qū)分曲面

6、的兩側(cè)，常規(guī)定其一側(cè)為曲面的正側(cè)，另一面為其負(fù)側(cè)。這種取定了正側(cè)的曲面稱為有向曲面。對(duì)于封閉曲面，習(xí)慣上總是取其外側(cè)為正側(cè)。在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常規(guī)定有向曲面的法向矢量恒指向研究問(wèn)題時(shí)所取的一側(cè)。下面通過(guò)例子導(dǎo)出通量定義。設(shè)s為流速場(chǎng)中一有向曲面，考慮單位時(shí)間流體向正側(cè)穿過(guò)s的流量Q。（指向s正側(cè)）在s上取ds，。因ds甚小，可認(rèn)為和在ds上均不變，分別與M處和相同。流體穿過(guò)ds的流量為：其中為M處單位法向矢量則單位時(shí)間內(nèi)沿正向穿過(guò)s的總通量為：數(shù)學(xué)上把這種形式的曲面積分稱為通量。設(shè)為一矢量場(chǎng)，沿其中有向曲面s正(負(fù)

7、)側(cè)的曲面積分：稱為矢量場(chǎng)向s正（負(fù)）側(cè)穿過(guò)曲面s的通量。如磁感應(yīng)強(qiáng)度為的磁場(chǎng)中，穿過(guò)曲面s的磁通量為：若某一矢量場(chǎng)是由兩個(gè)以上的矢量場(chǎng)迭加而成，則總場(chǎng)穿過(guò)某曲面的通量等于每個(gè)矢量場(chǎng)穿過(guò)該曲面的通量之和。即若則：在直角坐標(biāo)系中，若可表示為：而其中，，是的方向余弦∴xyzs1s20H例場(chǎng)，s：圓錐面與平面z=H所圍封閉面，求從s內(nèi)穿出的。解：上任一點(diǎn)xyz0若s為上半球面，()，則總流量為單位時(shí)間內(nèi)向上側(cè)穿過(guò)s的正流量和負(fù)流量的代數(shù)和。當(dāng)Q>0時(shí)表示向正側(cè)流量多于向負(fù)側(cè)流量；Q<0時(shí)向正側(cè)流量小于向負(fù)側(cè)流量；Q=0時(shí)

8、向正側(cè)流量等于向負(fù)側(cè)流量。對(duì)于封閉曲面s，提及穿過(guò)它的通量時(shí)，通常指從內(nèi)向外。此時(shí)：當(dāng)時(shí)，表明穿出的通量大于穿入的，稱s內(nèi)有產(chǎn)生的正源；當(dāng)時(shí)，表明穿入通量大于穿出的，稱s內(nèi)有產(chǎn)生的負(fù)源。正源和負(fù)源可同時(shí)存在。例原點(diǎn)處點(diǎn)電荷q在其周圍產(chǎn)生的電場(chǎng)中，任一點(diǎn)處的電位移矢量()，求穿過(guò)以原點(diǎn)為球心，R為半徑的球面的電通量。解：可見，s內(nèi)產(chǎn)生電通量的源即為電荷q，q為