考研數(shù)學(xué)常微分方程講義(卓越資料)

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1、卓越考研卓而優(yōu)越則成卓越考研內(nèi)部資料（絕密）卓而優(yōu)越則成卓越考研教研組匯編4卓越考研卓而優(yōu)越則成第七章常微分方程§7．1基本概念和一階微分方程A基本內(nèi)容一、基本概念1、常微分方程含有自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程，若未知函數(shù)是一元函數(shù)則稱為常微分方程，而未知函數(shù)是多元函數(shù)則稱為偏微分方程，我們只討論常微分方程，故簡稱為微分方程。2、微分方程的階微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為該微分方程的階3、微分方程的解、通解和特解(1)解的定義：滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程的解；(2)通解：含有獨立常數(shù)的個數(shù)

2、與方程的階數(shù)相同的解；通解有時也稱為一般解，但不一定是全部解；(3)特解：不含有任意常數(shù)或任意常數(shù)確定后的解稱為特解。4、微分方程的初始條件要求自變量取某定值時，對應(yīng)函數(shù)與各階導(dǎo)數(shù)取指定的值，這種條件稱為初始條件，滿足初始條件的解稱為滿足該初始條件的特解。5、積分曲線和積分曲線族微分方程的特解在幾何上是一條曲線稱為該方程的一條積分曲線；而通解在幾何上是一族曲線就稱為該方程的積分曲線族。二、變量可分離方程及其推廣1、變量可分離的方程(1)方程形式：或(2)解法：先分離變量，再積分。通解注：1、在微分方程求解中，習(xí)慣地把不定積分只求出它

3、的一個原函數(shù)，而任意常數(shù)另外再加）2、求出通解，要注意化簡。2、齊次方程(1）方程形式：(2)解法：令，則4卓越考研卓而優(yōu)越則成3、一階線性方程(1)、一階線性齊次方程它也是變量可分離方程，通解公式，（為任意常數(shù)）(2)、一階線性非齊次方程用常數(shù)變易法可求出通解公式令，代入方程求出則得B典型例題一、變量可分離方程與齊次微分方程例1、求下列微分方程的通解。（1）（2）例2、求下列微分方程的通解。（1）（2）（3）例3、求微分方程4卓越考研卓而優(yōu)越則成例4、求微分方程的通解。例5、求微分方程的通解。二、一階線性方程例1、求下列微分方程的

4、通解（1）（2）（3）解：（1）通解為（2）直接用通解公式（先化標(biāo)準(zhǔn)形式），通解（3）此題不是一階線性方程，但把看作未知函數(shù)，看作自變量，所得微分方程即是一階線性方程，例2、設(shè)函數(shù)連續(xù)，求解方程：．4卓越考研卓而優(yōu)越則成4