數(shù)值分析（數(shù)值計(jì)算方法）教材

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1、第一章緒論與誤差4第二節(jié)絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字7第三節(jié)數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播14第四節(jié)數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問(wèn)題19緒論與誤差24第二章解線(xiàn)性方程組的直接方法33第三節(jié)矩陣三角分解法62第四節(jié)平方根法78第五節(jié)向量和矩陣的范數(shù)90第六節(jié)誤差分析113第七節(jié)超定線(xiàn)性方程組的最小二乘解142?????第一章緒論與誤差4第二節(jié)絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字7第三節(jié)數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播14第四節(jié)數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問(wèn)題19緒論與誤差24第二章解線(xiàn)性方程組的直接方法33第三節(jié)矩陣三角分解法62第四節(jié)平方根法78第五節(jié)向量和矩陣的范

2、數(shù)90第六節(jié)誤差分析113第七節(jié)超定線(xiàn)性方程組的最小二乘解142第三章解線(xiàn)性方程組的迭代法148第一節(jié)迭代法概述148第二節(jié)雅可比(Jacobi)迭代法156第三節(jié)高斯-賽德?tīng)柕?G-S迭代)163第四節(jié)超松馳迭代(SOR迭代)168第五節(jié)迭代法的收斂性172第六節(jié)最速下降法與共軛梯度法181第四章矩陣特征值問(wèn)題計(jì)算194第一節(jié)引言194第二節(jié)冪法及反冪法214二、反冪法232第三節(jié)Jacobi方法244第四節(jié)豪斯霍爾德方法258第五節(jié)QR方法269第五章插值法290第二節(jié)牛頓插值公式323第三節(jié)分段線(xiàn)性插值359

3、第四節(jié)埃爾米特插值370第五節(jié)樣條插值382第六節(jié)最佳平方三角逼近與快速傅里葉變換403第六章函數(shù)逼近425第二節(jié)正交多項(xiàng)式463第三節(jié)函數(shù)的最佳平方逼近479???????????????????????????第一章緒論與誤差???????????????????????????????第一節(jié)數(shù)值分析研究對(duì)象及特點(diǎn)?　一、數(shù)值分析課的地位:???數(shù)值分析是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)主要部分，計(jì)算數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)分支。它研究用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法及其理論與軟件實(shí)現(xiàn)。???用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)技術(shù)和工程問(wèn)題的步驟

4、:????實(shí)際問(wèn)題→建立數(shù)學(xué)模型→研究計(jì)算方法→程序設(shè)計(jì)→上機(jī)計(jì)算→求出結(jié)果。?例如:?⑴某一地區(qū)的地形圖,用空中航測(cè)方法,空中連續(xù)拍照。?⑵為形成三維地形圖,建立了一個(gè)大型超定線(xiàn)性方程組。?⑶采用最小二乘方法求解該方程組的最小二乘解,然后再整體平滑。?⑷編程序,形成一個(gè)大型程序,上機(jī)進(jìn)行計(jì)算。??二、數(shù)值分析課的主要內(nèi)容:??計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算和一些簡(jiǎn)單的函數(shù)計(jì)算(即使是函數(shù)也是通過(guò)數(shù)值分析方法處理,轉(zhuǎn)化為四則運(yùn)算而形成了的一個(gè)小型軟件包)。??1.數(shù)值代數(shù):?????求解線(xiàn)性和非線(xiàn)性方程的解法,分直接

5、方法和間接方法。???2.插值和數(shù)值逼近。??3.數(shù)值微分和數(shù)值積分。???4.常微分方程和偏微分方程數(shù)值解法。?三、數(shù)值分析具有的特點(diǎn)???1.面向計(jì)算機(jī)，要根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)提供切實(shí)可行的有效算法,即算法只能包含加、減、乘、除和邏輯運(yùn)算,這些運(yùn)算是計(jì)算機(jī)能直接處理的運(yùn)算。??2.有可靠的理論分析，能任意逼近并達(dá)到精度要求，對(duì)近似算法要保證收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性，還要對(duì)誤差進(jìn)行分析。??3.要有好的計(jì)算復(fù)雜性。時(shí)間復(fù)雜性好是指節(jié)省時(shí)間，空間復(fù)雜性好是指節(jié)省存儲(chǔ)量，這也是建立算法要研究的問(wèn)題,它關(guān)系到算法能否在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)

6、。??4.要有數(shù)值試驗(yàn)，即任何一個(gè)算法除了從理論上要滿(mǎn)足上述三點(diǎn)外還要通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)證明是行之有效的。??四、對(duì)算法所要考慮的問(wèn)題:??1.計(jì)算速度??1例如：求解一個(gè)20階線(xiàn)性方程組,用加減消元法需3000次乘法運(yùn)算,而用克萊姆法則要進(jìn)行次運(yùn)算,如用每秒1億次乘法運(yùn)算的計(jì)算機(jī)要30萬(wàn)年。??2.存儲(chǔ)量。大型問(wèn)題有必要考慮。??3.數(shù)值穩(wěn)定性。在大量計(jì)算中,舍入誤差是積累還是能控制,這與數(shù)值穩(wěn)定性算法有關(guān)。??例一元二次方程其精確解為?????????????如用求根公式:??以及字長(zhǎng)為8位的計(jì)算器求解有：??????

7、????????????????則:,?那么:的值與精確解有天壤之別。若改用:?因此,算法的選用很重要。?五、學(xué)習(xí)本課程應(yīng)注意的問(wèn)題??(1)要注意掌握方法的基本原理和思想,要注意方法處理的技巧其與計(jì)算機(jī)的結(jié)合，要重視誤差分析、收斂性及穩(wěn)定性的基本理論。??(2)要通過(guò)例子，學(xué)習(xí)使用各種數(shù)值方法解決實(shí)際計(jì)算問(wèn)題。??(3)要做一定數(shù)量的理論分析與計(jì)算練習(xí)。?????????????????第二節(jié)絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字???一、誤差的來(lái)源???數(shù)值計(jì)算,概括地講是“研究用于求得數(shù)學(xué)問(wèn)題近似解的方法和過(guò)程”。因此,

8、在計(jì)算過(guò)程中,誤差是不可避免。引起誤差的因素很多,主要有以下幾種：???1.模型誤差:在建立數(shù)學(xué)模型過(guò)程中,不可能將所有因素均考慮,必然要進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化,這就帶來(lái)了與實(shí)際問(wèn)題的誤差。???2.觀(guān)測(cè)誤差:在數(shù)學(xué)模型中,往往還有一些根據(jù)觀(guān)測(cè)得到的物理量，如溫度、長(zhǎng)度、電壓等,這些參量顯然也包含誤差。這種由觀(guān)測(cè)產(chǎn)生誤差稱(chēng)為觀(guān)測(cè)誤差。???3.截?cái)嗾`差