§1.4 矢量的線性關(guān)系與矢量的分解

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1、§1.4?矢量的線性關(guān)系與矢量的分解一、矢量的分解1.線性運(yùn)算:矢量的加法和數(shù)與矢量的乘法統(tǒng)稱為矢量的線性運(yùn)算.?2.線性組合:由矢量,,…,與數(shù)量l1，l2，…，ln所組成的矢量＝l1+l2+…+ln叫做矢量,,…,的線性組合.我們也說矢量可以用矢量,,…,線性表示，或者說，矢量可以分解成矢量,,…,的線性組合.?3.矢量在直線上的分解：定理1?如果矢量1，那么矢量與矢量共線的充要條件是可以用矢量線性表示，或者說是的線性組合，即＝x，且系數(shù)x被，唯一確定.稱為用線性組合來表示共線矢量的基底.證明如果＝x成立，那么由數(shù)乘矢量的定義立刻知與共線.反過來，如果與非零矢量共線，那么一定存

2、在實(shí)數(shù)x，使得＝x.??顯然，如果＝，那么＝0，即x=0.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????x的唯一性：如果＝x＝，那么（x－＝，而1，所以x＝.?4.矢量在平面上的分解：定理2?如果矢量,不共線，那么矢量與,共面的充要條件是可以用矢量,線性表示，或者說矢量可以分解成矢量,的線性組合，即＝x+y，且系數(shù)x,y被,,唯一確定.,稱為平面上矢量的基底.證明因?yàn)槭噶?不共線，所以1,1.設(shè)與,共面，如果與(或)共線，那么根據(jù)定理1有＝x+y

3、，其中y=0(或x=0)；如果與，都不共線，則把它們歸結(jié)到共同的始點(diǎn)O，并設(shè)=，＝（i=1，2），那么過的終點(diǎn)分別作OE2，OE1的平行線依次與OE1，OE2交于A，B.因?yàn)椤?∥,那么根據(jù)定理1可設(shè)=x，＝y(tǒng)，根據(jù)平行四邊形法則得??=+，即＝x+y.?反過來，設(shè)＝x+y，如果x,y有一個是零，那么與(或)共線，則與,共面.如果xy≠0，那么x∥,y∥,根據(jù)平行四邊形法則得與x，y共面，因此與,共面.最后證明x,y被,,唯一確定.假設(shè)＝x+y=+,那么??????????????????????????(x－)＝（y－）＝,如果x≠，那么=－,即∥,這與定理?xiàng)l件矛盾，所以x=.同

4、理y=,因此x,y被唯一確定.?5.矢量在空間的分解：定理3?如果矢量,,不共面，那么空間任意矢量可以由矢量,,線性表示，或者說矢量可以分解成矢量,,的線性組合，即＝x+y+z，且系數(shù)x,y,z被,,,唯一確定.,,稱為空間矢量的基底.證明?因?yàn)槭噶?,不共面，所以≠（i=1，2，3），且被此不共線.如果與,，之中的兩個矢量,(，或，)共面，那么根據(jù)定理2有???????＝x+y+0(＝x+0+z或＝0+y+z).如果與,，之中的任意兩個矢量都不共面，則把它們歸結(jié)到共同的始點(diǎn)O，并設(shè)=，＝（i=1，2，3），那么過的終點(diǎn)分別作三個平面分別與平面OE2E3，OE3E1，OE1E2平行

5、，且分別與直線OE1，OE2，OE3相交于A，B，C三點(diǎn)，從而作成了以、、為三棱，=為對角線的平行六面體，于是得到：=++，由定理1可設(shè)=x，=y，=z，所以＝x+y+z.?下面證明x,y,z被,,,唯一確定.假設(shè)＝x+y+z＝++，那么????????????????????????(x－)＝（y－）＝(z－)＝,如果????????x≠，那么????????????????????????????＝－＝－,有定理2可知,,共面，這與定理?xiàng)l件矛盾，所以x=.同理，y=，z=.因此x,y,z被,,,唯一確定.?二、矢量的線性關(guān)系?1.????定義對于n(n≥1)個矢量,,…,，如果

6、存在不全為零的n個數(shù)l1,l2，…,ln,使得l1+l2+…+ln=,那么n個矢量,,…,叫做線性相關(guān).矢量,,…,線性無關(guān)是指，只有當(dāng)l1＝l2＝…＝ln＝0時(shí)，上式才成立.?2.????判斷方法推論1?一個矢量線性相關(guān)的充要條件是=.證明：由矢量線性相關(guān)的定義即得.定理4?矢量,,…,(n≥2)線性相關(guān)的充要條件是其中有一個矢量是其余矢量的線性組合.證明：設(shè),,…,線性相關(guān)，則l1+l2+…+ln=,且l1,l2，…,ln不全為零，不妨設(shè)ln≠0，那么=－－－…－，即是其余矢量的線性組合.反過來，設(shè)n個矢量,,…,中有一個矢量，不妨設(shè)是其余矢量的線性組合，即=l1+l2+…+l

7、n-1，即l1+l2+…+(－1)=,且l1,l2，…,(－1)不全為零,因此,,…,線性相關(guān).定理5?如果一組矢量中的一部分矢量線性相關(guān)，那么這一組矢量就線性相關(guān).證明：設(shè)一組矢量,,…,，…,(s≤r)中，有一部分矢量,,…,線性相關(guān)，那么存在不全為零的n個數(shù)l1,l2，…,ls,使得l1+l2+…+ls=,即???????l1+l2+…+ls+0+…+lr=,且l1,l2，…,ls不全為零.所以這一組矢量,,…,，…,線性相關(guān).?推論2一組矢量中如果含有零矢量，