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1、9.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程9.1.1．狀態(tài)變量與狀態(tài)方程為了說明狀態(tài)變量與和狀態(tài)方程的概念，首先來研究圖9-1所示的二階電網(wǎng)絡(luò)。圖中us為電壓源。由于電容電流和電感電壓分別為ict=Cducdtult=Ldildt則由KCLheKVL可列出如下方程ducdt=il-ucR2Ldildt=us-RliL-Uc整理可得ducdt=-1CR2Uc+1CiLdildt=-1LUc-R1LiL+1LUs若指定個電感電壓uL為輸出，則由方程uL=-uc-RliL+us式（9-3）形式的一階微分方程稱為狀態(tài)方程，其中uc(t),iL
2、(t)稱為狀態(tài)變量；式（9-4）是以輸入信號和狀態(tài)變量表示的代數(shù)方程，它稱為輸出方程。方程式（9-3）和（9-4）表明，如果電路在t=t0時刻的狀態(tài)uc(t)和iL(t)為已知，那么根據(jù)t≥t0時給定的輸入us(t)就可以唯一的確定方程組式（9-3）的解uc(t)和iL(t)。再由所得的狀態(tài)變量和t≥t0時的輸入，就可以確定t≥t0時的輸出。一般而言，連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)在某一時刻t0的狀態(tài)，是描述該系統(tǒng)所必須的最少的一組數(shù)x1t0,x2t0,…,xn(t0),根據(jù)這組數(shù)和t≥t0時給定的輸入就可以唯一的確定在t>t0的任意
3、時刻的狀態(tài)。狀態(tài)變量x1t0,x2t0,…,xn(t0)，是描述狀態(tài)隨時間變化的一組變量，它們在t0時的值就組成了系統(tǒng)在該時刻的狀態(tài)。狀態(tài)變量方程簡稱狀態(tài)方程，它是用狀態(tài)變量和激勵（有時為零）表示的一組獨立的一階微分方程；而輸出方程是用狀態(tài)變量和激勵（優(yōu)勢還可能有激勵的某些函數(shù)）表示的袋鼠方程。通常將系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程總稱為動態(tài)方程。在電路系統(tǒng)中，一般取獨立電容上電壓和電感中電流為狀態(tài)變量。下面以圖9-2所示的二姐電路為例，進一步說明直觀列寫狀態(tài)方程的方法。選擇uc(t)和iL(t)為狀態(tài)變量，對包含電感的回路
4、，有KVL，有diLdt-uct+ust=0對于節(jié)點a，由KCL，有Cducdt=-1RCuc-1CiL+1Cis整理可得Cducdt=-1RCuc-1CiL+1Cisdildt=1Luc(t)-1Lus(t)寫成矩陣形式為ducdtdildt=-1RC-1C1L0uc(t)iL(t)+1C00-1Lisus狀態(tài)變量xt=x1(t)x2(t)=uc(t)iL(t),A=-1RC-1C1L0,B=1C00-1Lft=isusT則上式可寫為X=Axt+Bf(t)式中，X表示狀態(tài)變量的一階導數(shù)，x(t)稱為狀態(tài)變量，A稱為
5、狀態(tài)變量的系數(shù)矩陣，對線性時不變系統(tǒng)，A和B為常數(shù)矩陣。式（9-5）為有外加輸入系統(tǒng)的狀態(tài)方程的標準形式。由上可知，狀態(tài)方程式一組一階微分方程，只要知道其實狀態(tài)，就可以求取uc(t)和iL(t)，隨之該電路的其他量也可以確定。因此uc(t)和iL(t)是該電路中最少的一組狀態(tài)變量。對于一般的電路，直觀列寫狀態(tài)方程的步驟如下：第一步：選擇獨立的電容上電壓和電感中電流為狀態(tài)變量。第二步：對于電容相連的節(jié)點列寫KCL方程，對包含電感的回路列寫KVL方程。第三部：消去非狀態(tài)變量，整理成標準形式的狀態(tài)方程x=Axt+Bf(t)
6、式中，Bf(t)是與外加信號有關(guān)的項，B為常數(shù)矩陣。例9-1對于圖9-3（a）所示電路，試寫出其狀態(tài)方程，并以uR為輸出寫出輸出方程。解首先選擇電容上電壓和電感上電流為狀態(tài)變量，即xt=uc1uc2iL]T畫出與電路相對于的圖，如圖9-3（b）所示。對于C1和C2支路相連的節(jié)點分別列出KCL方程，即C1duc1dt+uc1-usR+iL=0C2duc2dt+iL+iL=0對電感所在的回路列寫KVL方程，即LdiLdt-uc2-uc1+us=0整理可得狀態(tài)方程duc1dt=1C1[-uc1R-iL+usR]duc2dt
7、=1C2[-iL-is]diLdt=1Luc1+uc2-us寫出矩陣形式為duc1dtduc2dtdiLdt=-1C1R0-1C00-1C21L1L0uc1uc2iL+-1C1R00-1C2-1L0usis即有標準形式x=Axt+Bft輸出方程urt=ust-uc1t對于一般系統(tǒng)，如果已知其模擬框圖，也可以寫出它們的狀態(tài)方程。例如圖9-4所示的三種簡單例子，只要把每個積分器的輸出變量設(shè)為狀態(tài)變量，即可容易地寫出狀態(tài)方程和輸出方程。對于圖9-4（a）所示的反饋積分放大環(huán)節(jié)，設(shè)積分器輸出為狀態(tài)變量x，則有狀態(tài)方程x=ax
8、+bft對于圖9-4（b）所示的兩級反饋環(huán)節(jié)級聯(lián)情況，有狀態(tài)方程x1=-a1x1+x2x2=-a2x2+ftx1x2=-a110-a2x1x2+01ft輸出方程為yt=x1對于圖9-4（c）所示的兩級反饋環(huán)節(jié)并聯(lián)情況，有狀態(tài)方程x1=-3x1+2f(t)x2=-2x2+2ft即x1x2=-310-2x1x2+22ft輸出方程yt=x1-x29.
