jacobi迭代法 實驗 matlab程序 數(shù)值分析

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1、例1．求線性方程組得近似解。精確解為x*=[3，2，1]’。解：對方程進行移項就得記為Ax=b,或?qū)憺閤=B0x+f,其中取初始值,代入原方程組可得再將把它代入可得.反復利用這個計算過程,得到一向量序列和一般的計算公式(迭代公式)簡寫為迭代到第10次有從此例看出,由迭代法產(chǎn)生的向量序列x(k)逐步逼近方程組的精確解x*.6.1常用迭代法定義1(ⅰ)對于給定的方程組x=Bx+f,用公式逐步代入求近似解的方法稱為迭代法(或稱為一階定常迭代法,這里B與k無關).(ⅱ)如果存在(記為x*),稱此迭代法收斂,顯然x*就是方程組的解,

2、否則稱此迭代法發(fā)散.迭代法的流程圖為:①為初始向量，②是判斷條件,即時停止運行③k是循環(huán)次數(shù)。④中帶入初始值,然后賦給①Jacobi迭代法對一般方程組從第一個方程解出x1,第二個方程解出x2,…,記成用矩陣寫法即x=Bx+g,B的對角元皆零,可拆成B=L+UL是B下三角部分,U是B上三角部分Jacobi迭代法如下述.任取初始近似x(0),對k=1,2,…計算直至║x(k+1)-x(k)║≤ε,預定的精度.用矩陣記號，即任取初始近似x(0),對k=1,2,…計算x(k+1)=Bx(k)+g,直至║x(k+1)-x(k)║≤ε

3、(通常對迭代法限定最大迭代次數(shù)也是必要的).Jacobi迭代法的流程圖為:在以上的流程圖中，先讀入數(shù)據(jù)，即先輸入系數(shù)矩陣A,常數(shù)向量b,初始值，停止條件和最大循環(huán)次數(shù)。圖中是，在我們迭代公式中的。k是循環(huán)次數(shù)，N是最大循環(huán)次數(shù)。例2.?????????????利用Jacobi方法求方程組的近似解。解把原方程改為任取初始近似x(0),對k=1,2,…計算直至║x(k+1)-x(k)║≤ε,預定的精度.此即Jacobi迭代法.計算結(jié)果如下表.kx1(k)x2(k)x3(k)000010.7200000000000.830000

4、0000000.84000000000020.9710000000001.0700000000001.15000000000031.0570000000001.1571000000001.24820000000041.0853500000001.1853400000001.28282000000051.0950980000001.1950990000001.29413800000061.0983375000001.1983374000001.29803940000071.0994416200001.199441630000

5、1.29933498000081.0998111590001.1998111580001.29977665000091.0999364458001.1999364459001.299924463400101.0999785372701.1999785372601.299974578340111.0999927693941.1999927693951.299991414906二實驗部分本章實驗內(nèi)容：實驗題目：Jacobi迭代法，Gauss-Saidel迭代法，SOR迭代法。實驗內(nèi)容：利用MATLAB,編制求Ax=b的各迭代計

6、算方法的程序。實驗目的：了解迭代法的運用性，進行各迭代法數(shù)值結(jié)果的比較，并找出一個計算量小的，使迭代法加速收斂的迭代方法。編程要求：①利用迭代法，初始向量為x(0)②同時利用Jacobi法和Gauss-Seidel法來進行對比。③利用SOR迭代法來進行對比。計算算法：①Jacobi迭代法的算法為:②Gauss-Saidel迭代法的算法為：③SOR迭代法的算法為：實驗例題⑴：條件：取實驗例題⑵：條件：取選擇適當?shù)乃沙谝蜃?。程序①：function[X,Y]=JacobiGS(A,b,p,p1,del,max)%A為線性方程組

7、的系數(shù)矩陣，b為自由項，p和p1為兩種迭代法的初始解，del為限制數(shù)，max為循環(huán)的限制次數(shù)。n=length(b);fork1=1:maxforj=1:nY(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1])*p1(1:j-1)-A(j,[j+1:n])*p1(j+1:n))/A(j,j);ifj==1X(1)=(b(1)-A(1,[2:n])*p(2:n))/A(1,1);elseifj==nX(n)=(b(n)-A(n,[1:n-1])*(X(1:n-1))')/A(n,n);elseX(j)=(b(j)-A(j,[1:j-

8、1])*(X(1:j-1))'-A(j,[j+1:n])*p(j+1:n))/A(j,j);enderr=abs(norm(X'-p));reerr=err/(norm(X)+eps);p=X';if(err

9、(reerr