專題三 第2講 數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用

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1、第2講　數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1．(2012·大綱全國卷)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列的前100項和為A.　　　B.　　　C.　　　D.解析　利用裂項相消法求和．設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.∵a5＝5，S5＝15，∴，∴∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴＝＝－，∴數(shù)列{}的前100項和為1－＋－＋…－＝1－＝.答案　A2．(2012·浙江)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N＋，數(shù)列{bn}滿足an＝4log2bn＋3，n∈N＋.(1)求an，bn；(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.解析

2、　(1)由Sn＝2n2＋n，得當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.所以an＝4n－1，n∈N＋.由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N＋.(2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N＋，所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N＋.考題分析數(shù)列的求和是高考的必考內(nèi)容，可單獨命題，也可與函數(shù)、不等式等

3、綜合命題，求解的過程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，解答此類題目需重點掌握幾類重要的求和方法，并加以靈活應(yīng)用．網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點突破考點一：裂項相消法求數(shù)列的前n項和【例1】(2012·門頭溝一模)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝(n∈N＋)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.[審題導(dǎo)引]　(1)運用公式an＝求an，注意n＝1時通項公式an；(2)裂項法求和．[規(guī)范解答]　(1)由已知，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝(2)由(1)知，bn＝當(dāng)n＝1時，T1＝b1＝，當(dāng)n≥2時

4、，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＝－，∴{bn}的前n項和Tn＝－.【規(guī)律總結(jié)】常用的裂項技巧和方法用裂項相消法求和是最難把握的求和問題之一，其原因是有時很難找到裂項的方向．突破這類問題的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，掌握一些常見的裂項技巧，如：(1)＝；(2)＝(－)；(3)C＝C－C；(4)n·n?。?n＋1)?。璶！等．[易錯提示]　利用裂項相消法解決數(shù)列求和問題，容易出現(xiàn)的錯誤有兩個方面：(1)裂項過程中易忽視常數(shù)，如容易誤裂為－，漏掉前面的系數(shù)；(2)裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或添項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤．【變式訓(xùn)練】1．(2012·大連模擬)已知函數(shù)f(x)＝，數(shù)列{an}滿

5、足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N＋)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝anan＋1·3n，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求Sn.解析　(1)由已知，an＋1＝，∴＝＋1.∴＋＝3，并且＋＝，∴數(shù)列為以為首項，3為公比的等比數(shù)列，∴＋＝·3n－1，∴an＝.(2)bn＝＝－，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－＋…＋－＝－.考點二：錯位相減法求數(shù)列的前n項和【例2】(2012·濱州模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知an＋1＝2Sn＋2(n∈N＋)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)在an與an＋1之間插入n個數(shù)，使這n＋2個數(shù)組成公差為dn的

6、等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項和Tn.[審題導(dǎo)引]　(1)利用遞推式消去Sn可求an；(2)利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和．[規(guī)范解答]　(1)由an＋1＝2Sn＋2(n∈N＋)，得an＝2Sn－1＋2(n∈N＋，n≥2)，兩式相減得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n∈N＋，n≥2)，又a2＝2a1＋2，∵{an}是等比數(shù)列，所以a2＝3a1，則2a1＋2＝3a1，∴a1＝2，∴an＝2·3n－1.(2)由(1)知an＋1＝2·3n，an＝2·3n－1.∵an＋1＝an＋(n＋1)dn，∴dn＝，令Tn＝＋＋＋…＋，則Tn＝＋＋＋…＋①Tn＝＋＋…＋＋②①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝＋×

7、－＝－.【規(guī)律總結(jié)】錯位相減法的應(yīng)用技巧(1)設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項和可用錯位相減法．應(yīng)用錯位相減法求和時需注意：(2)①給數(shù)列和Sn的等式兩邊所乘的常數(shù)應(yīng)不為零，否則需討論；②在轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和后，求其和時需看準(zhǔn)項數(shù)，不一定為n.【變式訓(xùn)練】2．已知等差數(shù)列{an}滿足：an＋1＞an(n∈N＋)，a1＝1，該數(shù)列的前三項分別加上1、1、3后順次成為等