處理球的“內(nèi)切”“外接”問題

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1、處理球的“內(nèi)切”“外接”問題浙江省諸暨市學勉中學（311811）郭天平與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接。作為這種特殊的位置關系在高考中也是考查的重點，但同學們又因缺乏較強的空間想象能力而感到模糊。解決這類題目時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置及球心的位置，畫好截面圖是關鍵，可使這類問題迎刃而解。一、棱錐的內(nèi)切、外接球問題圖1例1.正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？分析：運用正四面體的二心合一性質(zhì)，作出截面圖，通過點、線、面關系解之。解：如圖1所示，設點是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為．由圖

2、形的對稱性知，點也是外接球的球心．設內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為．正四面體的表面積．正四面體的體積，在中，，即，得，得【點評】由于正四面體本身的對稱性可知，內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點，即內(nèi)切球的半徑為(為正四面體的高)，且外接球的半徑，從而可以通過截面圖中建立棱長與半徑之間的關系。例2．設棱錐的底面是正方形，且，，如果的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.圖2解：?平面，由此，面面.記是的中點，從而.平面，設球是與平面、平面、平面都相切的球.如圖2，得截面圖及內(nèi)切圓不妨

3、設平面，于是是的內(nèi)心.設球的半徑為，則，設,.,當且僅當，即時，等號成立.∴當時，滿足條件的球最大半徑為.練習：一個正四面體內(nèi)切球的表面積為，求正四面體的棱長。（答案為：）【點評】根據(jù)棱錐的對稱性確定內(nèi)切球與各面的切點位置，作出截面圖是解題的關鍵。圖3圖4圖5二、球與棱柱的組合體問題1．正方體的內(nèi)切球：球與正方體的每個面都相切，切點為每個面的中心，顯然球心為正方體的中心。設正方體的棱長為，球半徑為。如圖3，截面圖為正方形的內(nèi)切圓，得；2．與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點為各棱的中點，如圖4作

4、截面圖，圓為正方形的外接圓，易得。3．正方體的外接球：正方體的八個頂點都在球面上，如圖5，以對角面作截面圖得，圓為矩形的外接圓，易得。例3.在球面上有四個點、、、.如果、、兩兩互相垂直，且,那么這個球的表面積是______.解：由已知可得、、實際上就是球內(nèi)接正方體中交于一點的三條棱，正方體的對角線長就是球的直徑，連結(jié)過點的一條對角線，則過球心，對角線練習：一棱長為的框架型正方體，內(nèi)放一能充氣吹脹的氣球，求當球與正方體棱適好接觸但又不至于變形時的球的體積。（答案為）4．構造直三角形，巧解正棱柱與球的組合問題正

5、棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點處，由球心、底面中心及底面一頂點構成的直角三角形便可得球半徑。例4.已知三棱柱的六個頂點在球上，又知球與此正三棱柱的5個面都相切，求球與球的體積之比與表面積之比。分析：先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關系。圖6解：如圖6，由題意得兩球心、是重合的，過正三棱柱的一條側(cè)棱和它們的球心作截面，設正三棱柱底面邊長為，則，正三棱柱的高為，由中，得，，練習：正四棱柱的各頂點都在半徑為的球面上，求正四棱柱的側(cè)面積的最大值。（答案為：）【點評】“內(nèi)切”和“外接”等有關問

6、題，首先要弄清幾何體之間的相互關系，主要是指特殊的點、線、面之間關系，然后把相關的元素放到這些關系中解決問題，作出合適的截面圖來確定有關元素間的數(shù)量關系，是解決這類問題的最佳途徑。