8.5.2 曲面的切平面與法線

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1、8.5.2曲面的切平面與法線過曲面Σ上一點M，在曲面Σ上的曲線有無數(shù)多條，每一條曲線點M處都有一條切線，在下面的討論中將會發(fā)現(xiàn)，在一定的條件下，這些切線位于同一平面，我們稱這個平面為曲面Σ在點M處的切平面。設曲面Σ的方程為F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲面上一點，函數(shù)F(x，y，z)在點M處有連續(xù)的偏導數(shù)，且三個偏導數(shù)不全為零，另設曲線Γ是過點M且在曲面Σ上的任意一條曲線，它的方程為t=t0是點M0所對應的參數(shù)，不全為零。由于曲線Γ在曲面Σ上，于是曲線Γ上任意一點的坐標滿足曲面Σ的方程，即有恒等式圖8-22又由于函數(shù)F(x，y，z)在點M處有連續(xù)

2、的偏導數(shù)，函數(shù)在t=t0處可導，所以復合函數(shù)在t=t0處可導，且全導數(shù)為恒等式=0兩邊在t0處對t求全導數(shù)，有上式說明向量與向量垂直。向量是曲線Γ在點M處的切向量，故曲線Γ在點M處的切線與向量垂直，由曲線Γ的任意性知，所有過點M，且在曲面Σ上的曲線在M處的切線都與向量垂直，也就是這些切線都在以向量為法向量，并通過點M的平面上。所以，曲面Σ在點M處的切平面方程為過點M(x0，y0，z0)且垂直于該點處的切平面的直線稱為曲面Σ在點M處的法線，顯然，切平面的法向量就是法線的方向向量，所以曲面Σ在點M處的法線方程為如果曲面Σ的方程為z=f(x，y),則只需設那么曲面Σ的

3、方程就可化成F(x，y，z)=0的形式，而且,此時曲面Σ在點M0(x0，y0，z0)處的切平面方程為法線方程為?例1：求曲面在點M(3，1，1)處的切平面方程和法線方程。解：因為，故所以，曲面在點M處的切平面方程為18(x–3)+2(y–1)–2(z–1)=0即9x+y–z–27=0法線方程為即?例2：求圓錐面在點M(1，0，1)處的切平面方程和法線方程。解：設，則所以，圓錐面在點M處的切平面方程為1·(x–1)+0·(y–0)–(z–1)=0即x–z=0法線方程為即?例3：在橢圓拋物面上求一點，使它的切平面與平面平行，并求該點的切平面及法線方程。解：設所求點為

4、，橢圓拋物面上每一點處的法向量為在點處的法向量為曲面在點的切平面為：要使切平面與以知平面平行，必有兩平面的法向量平行，即由此得。代入橢圓拋物面方程得。故所求的平面方程為：，即法線方程為。