高斯消元法(完整)

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1、高斯消元法解線性方程組在工程技術和工程管理中有許多問題經?？梢詺w結為線性方程組類型的數學模型，這些模型中方程和未知量個數常常有多個，而且方程個數與未知量個數也不一定相同。那么這樣的線性方程組是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的結構如何呢？這就是下面要討論的問題。一、線性方程組設含有n個未知量、有m個方程式組成的方程組（3.1）其中系數，常數都是已知數，是未知量（也稱為未知數）。當右端常數項,,…,不全為0時，稱方程組（3.1）為非齊次線性方程組；當==…==0時，即（3.2）稱為齊次線性方程

2、組。由n個數,,…,組成的一個有序數組（,,…,），如果將它們依次代入方程組（3.1）中的,,…,后，（3.1）中的每個方程都變成恒等式，則稱這個有序數組（,,…,）為方程組（3.1）的一個解。顯然由=0,=0,…,=0組成的有序數組（0,0,…,0）是齊次線性方程組（3.2）的一個解，稱之為齊次線性方程組（3.2）的零解，而當齊次線性方程組的未知量取值不全為零時，稱之為非零解。（利用矩陣來討論線性方程組的解的情況或求線性方程組的解是很方便的。因此，我們先給出線性方程組的矩陣表示形式。）非齊次線性方程組（

3、3.1）的矩陣表示形式為：AX=B其中A=，X=，B=稱A為方程組（3.1）的系數矩陣，X為未知矩陣，B為常數矩陣。將系數矩陣A和常數矩陣B放在一起構成的矩陣20=稱為方程組（3.1）的增廣矩陣。齊次線性方程組（3.2）的矩陣表示形式為：AX=O二、高斯消元法（下面介紹利用矩陣求解方程組的方法，那么矩陣初等行變換會不會改變方程組的解呢？我們先看一個定理。）定理3.1若用初等行變換將增廣矩陣化為，則AX=B與CX=D是同解方程組。證由定理3.1可知，存在初等矩陣,,…,，使…=記…=P，則P可逆，即存在。設

4、為方程組AX=B的解，即A=B在上式兩邊左乘P，得PA=PB即C=D說明也是方程組CX=D的解。反之，設為方程組CX=D的解，即C=D在上式兩邊左乘，得C=D即A=B說明也是方程組AX=B的解。因此，方程組AX=B與CX=D的解相同，即它們是同解方程組。（證畢）(由定理3.1可知，求方程組（3.1）的解，可以利用初等行變換將其增廣矩陣化簡。又有第二章定理2.10可知，通過初等行變換可以將化成階梯形矩陣。因此，我們得到了求解線性方程組（3.1）的一般方法：)用初等行變換將方程組（3.1）的增廣矩陣化成階梯形

5、矩陣，再寫出該階梯形矩陣所對應的方程組，逐步回代，求出方程組的解。因為它們?yōu)橥夥匠探M，所以也就得到了原方程組（3.1）的解。這種方法被稱為高斯消元法，（下面舉例說明用消元法求一般線性方程組解的方法和步驟。）20例1解線性方程組（3.3）解先寫出增廣矩陣，再用初等行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即=上述四個增廣矩陣所表示的四個線性方程組是同解方程組，最后一個增廣矩陣表示的線性方程組為將最后一個方程乘，再將項移至等號的右端，得將其代入第二個方程，解得再將代入第一個方程組，解得因此，方程組（3.3）的解為（3.

6、4）其中可以任意取值。由于未知量的取值是任意實數，故方程組（3.3）的解有無窮多個。由此可知，表示式（3.4）表示了方程組（3.3）的所有解。表示式（3.4）中等號右端的未知量稱為自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）稱為方程組（3.3）的一般解，當表示式（3.4）中的未知量取定一個值（如=1），得到方程組（3.3）的一個解（如，，，），稱之為方程組（3.3）的特解。注意，自由未知量的選取不是唯一的，如例1也可以將取作自由未知量。20如果將表示式（3.4）中的自由未知量取一任意常數k，即

7、令=k，那么方程組（3.3）的一般解為，其中k為任意常數。用矩陣形式表示為=（3.5）其中k為任意常數。稱表示式（3.5）為方程組（3.3）的全部解。（用消元法解線性方程組的過程中，當增廣矩陣經過初等行變換化成階梯形矩陣后，要寫出相應的方程組，然后再用回代的方法求出解。如果用矩陣將回代的過程表示出來，我們可以發(fā)現，這個過程實際上就是對階梯形矩陣進一步簡化，使其最終化成一個特殊的矩陣，從這個特殊矩陣中，就可以直接解出或“讀出”方程組的解。例如，）對例1中的階梯形矩陣進一步化簡，上述矩陣對應的方程組為將此方程

8、組中含的項移到等號的右端，就得到原方程組（3.3）的一般解，（3.4）其中可以任意取值。例2解線性方程組20解利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化成階梯陣，再求解。即=一般解為例3解線性方程組解利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化成階梯陣，再求解。即=階梯形矩陣的第三行“0,0,0,-2”所表示的方程為：，由該方程可知，無論，，取何值，都不能滿足這個方程。因此，原方程組無解。三、線性方程組的解的判定前面介紹了用高斯消元法解線性