淺談圓的輔助線作法

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1、淺談圓的輔助線作法摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，而創(chuàng)造性是數(shù)學(xué)思維的最根本.最核心的智力品質(zhì)。在初中平面幾何的教學(xué)中，要不斷地利用教材特征，挖掘生活素材，適時地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。下面以怎樣作圓的輔助線的探索與歸納予以說明。關(guān)鍵詞：圓半徑直徑弦弦心距在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問題就會迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本文只通過分析探索歸納幾種圓中常見的輔助線的作法。下面以幾道題目為例加以說明。1.有弦

2、，可作弦心距DCBPOAEFPB圖1在解決與弦、弧有關(guān)的問題時，常常需要作出弦心距、半徑等輔助線，以便應(yīng)用于垂徑定理和勾股定理解決問題。例1如圖1,⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)P，且AC=BD。求證：PO平分∠APD。BD，(AC(分析1：由等弦AC=BD可得出等弧=CD(AB(進(jìn)一步得出=，從而可證等弦AB=CD，由同圓中等弦上的弦心距相等且分別垂直于它們所對應(yīng)的弦，因此可作輔助線OE⊥AB，OF⊥CD，易證△OPE≌△OPF，得出PO平分∠APD。CD(AB(證法1：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于FBD(AC(AC=BD=>==>=

3、=>AB=CD=>OE=OF∠OEP=∠OFP=90°=>△OPE≌△OPFDCBPOAPB圖1-10OP=OP=>∠OPE=∠OPF=>PO平分∠APD分析2：如圖1-1，欲證PO平分∠APD，即證∠OPA=∠OPD，可把∠OPA與∠OPD構(gòu)造在兩個三角形中，證三角形全等，于是不妨作輔助線即半徑OA，OD，因此易證△ACP≌△DBP，得AP=DP，從而易證△OPA≌△OPD。證法2：連結(jié)OA，OD?！螩AP=∠BDP∠APC=∠DPB=>△ACP≌△DBPAC=BD=>AP=DPOA=OD=>△OPA≌△OPD=>∠OPA=∠OPD

4、=>PO平分∠APDOP=OP2.有直徑，可作直徑上的圓周角BDCMAO.A21圖2對于關(guān)系到直徑的有關(guān)問題時，可作直徑上的圓周角，以便利用直徑所對的圓周角是直角這個性質(zhì)。例2如圖2，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過D作⊙O的切線DM交AC于M。求證DM⊥AC。分析：由AB是直徑，很自然想到其所對的圓周角是直角。于是可連結(jié)AD，得∠ADB=Rt∠,又由等腰三角形性質(zhì)可得∠1=∠2，再由弦切角的性質(zhì)可得∠ADM=∠B，故易證∠AMD=∠ADB=90°，從而DM⊥AC。證明連結(jié)AD。=>∠1=∠2AB為⊙O的直

5、徑=>∠ADB=Rt∠AB=ACDM切⊙O于D=>∠ADM=∠B=>∠1+∠B=∠2+∠ADM=>∠AMD=∠ADB=Rt∠=>DM⊥AC說明，由直徑及等腰三角形想到作直徑上的圓周角。3.當(dāng)圓中有切線常連結(jié)過切點(diǎn)的半徑或過切點(diǎn)的弦例3如圖3,AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長線上，BD=OB，DC切⊙O于C點(diǎn)。求∠A的度數(shù)。DAOBC.圖3分析：由過切點(diǎn)的半徑垂直于切線，于是可作輔助線即半徑OC，得Rt△，再由解直角三角形可得∠COB的度數(shù)，從而可求∠A的度數(shù)。解：連結(jié)OC。=>COS∠COD=OC/OD=1/2=>∠COB=60°D

6、C切⊙O于C=>∠OCD=90°OC=OB=BDEDCFO12AB圖4=>∠A=1/2∠COB=30°說明，由過切點(diǎn)的半徑垂直于切線想到連結(jié)半徑。例4如圖4，已知△ABC中，∠1=∠2，圓O過A、D兩點(diǎn)，且與BC切于D點(diǎn)。求證EF//BC。分析：欲證EF//BC，可找同位角或內(nèi)錯角是否相等，顯然同位角相等不易證，于是可連結(jié)DE，得一對內(nèi)錯角∠BDE與∠DEF，由圓的性質(zhì)可知這兩個角分別等于∠1和∠2，故易證EF//BC。證明連結(jié)DE。BC切⊙O于D=>∠BDE=∠1∠2=∠DEF=>∠BDE=∠DEF=>EF//BC∠1=∠2ACNB

7、DMPO1O2..圖5說明，由有切線且在同圓中等弧所對的圓周角相等想到連結(jié)弦。4.當(dāng)兩圓相切，可作公切線或連心線例5已知：如圖5，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P，過P點(diǎn)作兩條直線分別交⊙O1與⊙O2于點(diǎn)A、B、C、D。求證PB?PC=PA?PD。分析：欲證PB?PC=PA?PD，即證PA∶PB=PC∶PD，由此可作輔助線AC、BD，并證AC//DB，要證平行，需證一對內(nèi)錯角相等，如∠C=∠D，然后考慮到這兩個角分別與弦切角有關(guān)，進(jìn)而再作輔助線即兩圓公切線MN，從而問題迎刃而解。證明連結(jié)AC、BD，過P點(diǎn)作兩圓的內(nèi)公切線MN=>∠C=∠D=>

8、∠APM=∠C，∠BPN=∠D∠APM=∠BPN=>AC//DB=>PA∶PB=PC∶PD=>PB?PC=PA?PDTBAO1O212圖6說明，由需證弦平行且弦切角等于其所夾弧對的圓周角想到作公切線和作弦。例6已知：如圖