點到直線距離公式推導

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1、如何在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的思維能力思維能力是數(shù)學能力的核心．而提高學生思維能力的關鍵就是逐步培養(yǎng)學生思維的深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性、廣闊性、敏捷性和批判性．下面以人教社高二（上）數(shù)學教材第7．3節(jié)“兩條直線的位置關系”中“點到直線的距離”為例，談談如何提高思維能力．一、善于用批判的眼光來審視教材，培養(yǎng)思維的批判性和獨創(chuàng)性在引入本節(jié)教學內容后，提出問題：在指教坐標系中，已知點的坐標和直線的方程，怎樣求點到直線的距離？生1：過點作直線的垂線，垂足為，然后先求出直線的方程，再由直線的方程與直線方程聯(lián)立，解出點的坐標，再由兩點之間的距離公式，求出線段的長，即為點到直線的

2、距離。設點到直線的垂線段為，垂足為，由可知直線的斜率為，依據點斜式可寫出直線的方程，并由與的方程求出點的坐標；由此根據兩點距離公式求出，得到點到直線的距離．教材中作了這樣的解釋“這個方法雖然思路自然，但是運算較繁”，面對教材的這一解釋，在本節(jié)古今中外，凡是有杰出貢獻的科學家，他們都有一個共同的特點——用辨證的、批判的眼光去觀察周圍的事物，通過自己的獨立思考，發(fā)現(xiàn)新的問題．你是就此停下，按照教材去閱讀、領會教材給出的證明方法，還是繼續(xù)獨立地去探究，能否用上面所介紹的方法比較簡便地證明出點到直線的距離公式呢？那么就要研究上面的證法為什么運算比較繁，能否通過巧妙的變

3、換使得運算變得簡單呢？通過研究不難發(fā)現(xiàn)，上面的證法之所以比較繁，是由于要通過解方程組求出交點的坐標，然后再代入到兩點間的距離公式進行計算，且這兩個步驟運算都比較繁，要簡化運算，就要嘗試去避開這些較為復雜的運算．于是，只要圍繞證明的目標，利用整體思想，直接構造以為元的方程，這一證法還是非常簡便的．證法一：因為直線的方程為，由（Ⅰ）得（Ⅱ）把方程組（Ⅱ）中兩式平方相加，得，．．二、領會教材給出的證明方法的實質，探求其他證法，培養(yǎng)思維的深刻性、敏捷性、靈活性教材中給出的證明方法的實質體現(xiàn)了解析幾何中常用的、重要的思想——化斜為直，即將不與坐標軸平行的線段長的問題轉化

4、成與坐標軸平行的線段（或坐標軸上的線段）長的問題．在學習了教材的證明方法后，為了加深對這一思想方法的理解，你也可以利用這一思想方法，探求其它證明點到直線的距離公式的方法．圖1證法二：如圖1，過作直線∥，設直線和分別交軸于點、，過M作直線于點，則就等于點P到直線的距離，記為．設直線的方程為，由于點在直線上，，．直線：．令，得；在直線：中，令，得．．設直線的傾斜角為，則，且，說明：在證法二中，先將點到直線距離轉化成過點的且與平行的直線與的距離，并通過特殊位置——軸上的線段的長，利用三角函數(shù)解決了問題，體現(xiàn)化斜為直的思想．當然，也可以對證法二進行適當?shù)淖兓瘉碜C明點到

5、直線的距離公式，由興趣的讀者不妨去試一試．三、從其它角度入手，探求證明方法，以培養(yǎng)思維的廣闊性在解決數(shù)學問題時，要善于多角度去思考問題，這樣，不僅可能會有意想不到的收獲，而且，對培養(yǎng)同學們的思維的廣闊性、解題的綜合能力也是非常有益的．圖2證法三：如圖2，過點P作PQ垂直于直線于點Q，設點Q的坐標為，則．由于向量是直線的一個法向量（直線的法向量是指與直線垂直的向量，詳見教材閱讀材料“直線與向量”），則向量與的夾角為或．由向量的數(shù)量積得，即，．又因為點在直線上，所以，．所以點P到直線的距離為．說明：證法三通過構造向量的數(shù)量積輕松地證明了點到直線的距離公式，也體現(xiàn)了

6、向量這一內容的基礎性和工具性的地位．上面以點到直線的距離公式的證明為例，談了提高思維能力的方法，在今后學習新知識以及解題過程中，要積極思考、勇于探索，養(yǎng)成良好的思維習慣和思維品質，以逐步提高自己的思維能力．向量與點到直線的距離公式的證明點到直線距離公式是解析幾何中的一個很重要的的公式，應用它可使很多求解面積問題得以簡化，因此很多老師和學生更多的是重視它的應用，而對于公式本身的證明卻未引起足夠的重視，盡管教材中有“請研究一下如何用其他方法推導點到直線的距離公式?！碧崾菊Z，但依然不能引起廣大師生的足夠重視，筆者以為：運用教材中知識推導課本上的基本公式，本身就是在做

7、一道很典型的例題。因為對于一個公式的推導比運用這個公式來解決一些問題對我們的思維來講更具有價值。對于點到直線距離公式的推導，課本上是通過構造直角三角形利用三角形面積公式推導，這種證明方法的優(yōu)點是容易想到，但在構造直角三角形需對直線的斜率進行討論，下面筆者就把自己用平面向量知識推導點到直線距離公式的方法介紹給各位同仁，并列舉幾種其他的推導方法，供各位同仁參考。求證：點的距離為：.1由向量方法推導點到直線的距離公式證明：由直線方程：，可得直線方向量為n=(A,B)，設過點作直線垂線，垂足為，則向量n，即，所以且又因為點在直線l上，所以就有：，，又因為A,B不同時為

8、0，即：.這樣處理，既避開了分類討論，