極大似然估計法【最新資料】

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1、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》典型教案教學(xué)內(nèi)容：極大似然估計法教學(xué)目的：通過本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生：1、明確極大似然估計法是在總體分布類型已知的情況下的一種常用的參數(shù)估計方法；2、理解極大似然思想；3、掌握求極大似然估計值的一般步驟，會求常見分布參數(shù)的極大似然估計值．教學(xué)重點：1、對極大似然思想闡述；2、極大似然估計值的求解．教學(xué)難點：對不能通過求導(dǎo)方法獲得極大似然估計的值的確定．教學(xué)時數(shù)：２學(xué)時．教學(xué)過程：引例：某位同學(xué)與一位獵人一起外出打獵，一只野兔從前方竄過．只聽一聲槍響，野兔應(yīng)聲到下，如果要你推測，這一發(fā)命

2、中的子彈是誰打的？你就會想，只發(fā)一槍便打中，由于獵人命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率，看來這一槍是獵人射中的．這個例子所作的推斷就體現(xiàn)了極大似然法的基本思想．一、極大似然思想一般地說，事件與參數(shù)有關(guān)，取值不同，則也不同．若發(fā)生了，則認為此時的值就是的估計值．這就是極大似然思想．看一例子：例１、設(shè)袋中裝有許多黑、白球，不同顏色球的數(shù)量比為3:1，試設(shè)計一種方法，估計任取一球為黑球的概率．分析：易知的值無非是1/4或3/4．為估計的值，現(xiàn)從袋中有放回地任取3只球，用表示其中的黑球數(shù)，則．按極大似然估計思想

3、，對的取值進行估計．解：對的不同取值，取的概率可列表如下:53０１２３故根據(jù)極大似然思想即知：．在上面的例子中，是分布中的參數(shù)，它只能取兩個值：1/4或3/4，需要通過抽樣來決定分布中參數(shù)究竟是1/4還是3/4．在給定了樣本觀測值后去計算該樣本出現(xiàn)的概率，這一概率依賴于的值，為此需要用1/4、3/4分別去計算此概率，在相對比較之下，哪個概率大，則就最象那個．二、似然函數(shù)與極大似然估計1、離散分布場合：設(shè)總體是離散型隨機變量，其概率函數(shù)為，其中是未知參數(shù)．設(shè)為取自總體的樣本．的聯(lián)合概率函數(shù)為，這里，是常量，

4、是變量．若我們已知樣本取的值是，則事件發(fā)生的概率為．這一概率隨的值而變化．從直觀上來看，既然樣本值出現(xiàn)了，它們出現(xiàn)的概率相對來說應(yīng)比較大，應(yīng)使取比較大的值．換句話說，應(yīng)使樣本值的出現(xiàn)具有最大的概率．將上式看作的函數(shù)，并用表示，就有：53（１）稱為似然函數(shù)．極大似然估計法就是在參數(shù)的可能取值范圍內(nèi)，選取使達到最大的參數(shù)值，作為參數(shù)的估計值．即取，使（２）因此，求總體參數(shù)的極大似然估計值的問題就是求似然函數(shù)的最大值問題．這可通過解下面的方程（３）來解決．因為是的增函數(shù)，所以與在的同一值處取得最大值．我們稱為對

5、數(shù)似然函數(shù)．因此，常將方程（３）寫成：（４）方程（４）稱為似然方程．解方程（３）或（４）得到的就是參數(shù)的極大似然估計值．如果方程（４）有唯一解，又能驗證它是一個極大值點，則它必是所求的極大似然估計值．有時，直接用（４）式行不通，這時必須回到原始定義（２）進行求解．２、連續(xù)分布場合：設(shè)總體是連續(xù)離散型隨機變量，其概率密度函數(shù)為，若取得樣本觀察值為，則因為隨機點取值為時聯(lián)合密度函數(shù)值為．所以，按極大似然法，應(yīng)選擇的值使此概率達到最大．我們?nèi)∷迫缓瘮?shù)為，再按前述方法求參數(shù)的極大似然估計值．三、求極大似然估計的方

6、法531、可通過求導(dǎo)獲得極大似然估計：當函數(shù)關(guān)于參數(shù)可導(dǎo)時，?？赏ㄟ^求導(dǎo)方法來獲得似然函數(shù)極大值對應(yīng)的參數(shù)值．例２、設(shè)某工序生產(chǎn)的產(chǎn)品的不合格率為，抽個產(chǎn)品作檢驗，發(fā)現(xiàn)有個不合格，試求的極大似然估計．分析：設(shè)是抽查一個產(chǎn)品時的不合格品個數(shù)，則服從參數(shù)為的二點分布．抽查個產(chǎn)品，則得樣本，其觀察值為，假如樣本有個不合格，即表示中有個取值為１，個取值為０．按離散分布場合方法，求的極大似然估計．解：（１）寫出似然函數(shù)：（２）對取對數(shù)，得對數(shù)似然函數(shù)：（３）由于對的導(dǎo)數(shù)存在，故將對求導(dǎo)，令其為０，得似然方程：（４）

7、解似然方程得：（５）經(jīng)驗證，在時，，這表明可使似然函數(shù)達到最大53（６）上述過程對任一樣本觀測值都成立，故用樣本代替觀察值便得的極大似然估計為：將觀察值代入，可得的極大似然估計值為：，其中．若總體的分布中含有多個未知參數(shù)時，似然函數(shù)是這些參數(shù)的多元函數(shù)．代替方程（３），我們有方程組，由這個方程組解得分別是參數(shù)的極大似然估計值．例３、設(shè)某機床加工的軸的直徑與圖紙規(guī)定的中心尺寸的偏差服從，其中未知．為估計，從中隨機抽取根軸，測得其偏差為．試求的極大似然估計．分析：顯然，該問題是求解含有多個（兩個）未知參數(shù)的極

8、大似然估計問題．通過建立關(guān)于未知參數(shù)的似然方程組，從而進行求解．解：（１）寫出似然函數(shù)：（２）寫出對數(shù)似然函數(shù)：（３）將分別對53求偏導(dǎo)，并令它們都為０，得似然方程組為：（４）解似然方程組得：，（５）經(jīng)驗證使達到極大，（６）上述過程對一切樣本觀察值成立，故用樣本代替觀察值，便得的極大似然估計分別為：，．２、不可通過求導(dǎo)方法獲得極大似然估計：當似然函數(shù)的非零區(qū)域與未知參數(shù)有關(guān)時，通常無法通過解似然方程來獲得參數(shù)的極大似然估計，這