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《6、 曲線積分與曲線積分》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、六、曲線積分與曲面積分第40頁共40頁六、曲線積分與曲面積分1．設曲線是上半圓周，則。解法1由于關于直線對稱，所以，從而。解法2令，則。解法3設曲線的質(zhì)量分布均勻，則其重心的橫坐標為。又因為，所以。2．設是上半橢圓周，是四分之一橢圓周，則(A)。(B)。(C)。(D)。[]答D解由于關于軸對稱，所以，，，，。注意到，從而可以排除(A)，(B)，(C)三個選項，或直接選出正確選項(D)。3．計算，其中是圓周上從點經(jīng)點到點的一段。40六、曲線積分與曲面積分第40頁共40頁解法1取為自變量，則的方程為，其中，所以解法2取的參數(shù)方程為其中，所以。解法3由于是圓周的外向單位發(fā)向量，所
2、以此圓周的正向單位切向量為。根據(jù)兩類曲線積分之間的關系，得，其中的方程為，起點為，終點為。因此。4．計算，其中是圓周。解由于圓周關于軸對稱，所以，從而因為的參數(shù)方程為，所以40六、曲線積分與曲面積分第40頁共40頁5．已知曲線是平面與球面的交線，計算曲線積分。解法1由于曲線的方程中的變量具有輪換對稱性，所以，，因此，，從而。解法2直接化成定積分進行計算。曲線：在平面的投影曲線是一橢圓，其方程是，即。令，，則曲線的參數(shù)方程為，40六、曲線積分與曲面積分第40頁共40頁所以。從而，，，因此。6．求柱面被球面包圍部分的面積。解根據(jù)第一型曲線積分的幾何意義及對稱性，得，其中是平面曲
3、線在第一象限中的部分。取的參數(shù)方程為，，則，所以40六、曲線積分與曲面積分第40頁共40頁7．計算，其中是從點經(jīng)過點到點的折線段。解設從到；從到。根據(jù)路徑可加性，得。8．設是圓周，則。解1根據(jù)格林公式，得。解2由于是的外向單位法向量，所以就是的正向單位法向量。根據(jù)兩類曲線積分之間的關系，得。9．計算，其中是圓周，順時針方向為正。解1取的參數(shù)方程為從到，則解2由于具有一階連續(xù)偏導數(shù)，并注意到的方向，根據(jù)格林公式得40六、曲線積分與曲面積分第40頁共40頁10．計算，其中從點沿曲線到點，再沿直線到點。解1設從點沿曲線到點；從點沿直線到點。則由于，所以，從而。解2設從點沿直線到點
4、；從點沿直線到點，與和圍成的區(qū)域記為。根據(jù)格林公式得11．計算，其中是曲線從點到點的一段。解1記，當時，有40六、曲線積分與曲面積分第40頁共40頁。令是折線段，則根據(jù)格林公式易知解2令是直線段，是圓周，足夠小。由于當時，有，所以根據(jù)格林公式得12．設在全平面內(nèi)有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且滿足，記為包圍原點的正向簡單閉曲線，計算。解記，其中。由于40六、曲線積分與曲面積分第40頁共40頁，，且，所以當時，。任取充分小，記為圓周，并取逆時針方向，根據(jù)格林公式可知，，故。令：，則=。由于與的值無關，令，得。13．計算，其中為在第一象限中的部分，方向為從點到。解1由于曲線積分與路徑無關
5、，所以。又，所以。解2取是從點經(jīng)點到點，根據(jù)格林公式，得40六、曲線積分與曲面積分第40頁共40頁14．設是右半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，起點為，終點為。證明曲線積分與路徑無關，并求的值。解1因為在右半平面內(nèi)處處成立，所以曲線積分在右半平面內(nèi)與路徑無關。取為從點經(jīng)過點到點的折線段，得解2因為40六、曲線積分與曲面積分第40頁共40頁所以是在右半平面上的一個原函數(shù)，所以曲線積分在右半平面內(nèi)與路徑無關，且15．計算,是曲線在第一卦限中的部分,從點到點.解1取的參數(shù)方程為，參數(shù)從變到，則16．計算，其中是球面與平面的交線，從軸正向看去為逆時針方向。解1曲線在平面上的投影的方程為，
6、這是一個橢圓。取的參數(shù)方程為參數(shù)從到，從而40六、曲線積分與曲面積分第40頁共40頁解2由于曲線在平面上的投影曲線為：，所以解3取為曲線在平面上圍成的半徑是圓盤，上側(cè)為正。根據(jù)斯托克斯公式得17．計算，其中為與的交線，方向為從軸的正向往負向看去是順時針。解1求解，得，所以的方程為，其參數(shù)方程為，參數(shù)從變到。因此40六、曲線積分與曲面積分第40頁共40頁解2求解，得，所以的方程為。取，上側(cè)為正，根據(jù)斯托克斯公式，得18．計算,其中是用平面切立方體所得的切痕,從軸正向看去為逆時針方向.解取為平面上由圍成的邊長是的正六邊形，方向向上。根據(jù)斯托克斯公式，得19．計算，其中是平面與柱
7、面的交線，從軸正向看去，為逆時針方向。解1記分別為在第一、第二、第三和第四卦限中的部分，則40六、曲線積分與曲面積分第40頁共40頁解2記為在平面上的投影，則的方程是，所以解3取為上由圍成的平面區(qū)域，上側(cè)為正。根據(jù)斯托克斯公式，得解4根據(jù)斯托克斯公式，得。40六、曲線積分與曲面積分第40頁共40頁而所以。20．已知曲線積分與路徑無關，求的值，并求從到的積分值。解因為函數(shù)都在整個空間上具有連續(xù)偏導數(shù)，所以與路徑無關的充要條件是，即40六、曲線積分與曲面積分第40頁共40頁對任意的都成立。因此必有。取是由平行于坐標軸直
