扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力

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1、第三節(jié)扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力一、應(yīng)力分布規(guī)律　　為了建立扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件，在求出了圓軸各截面上的扭矩值后，還需要進(jìn)一步研究扭轉(zhuǎn)應(yīng)力的分布規(guī)律，因而需要研究扭轉(zhuǎn)變形。下面通過一個具體的實(shí)例來看看扭轉(zhuǎn)變形?！　∪∫桓鹉z圓棒，為觀察其變形情況，試驗(yàn)前在圓棒的表面畫出許多圓周線和縱向線，形成許多小矩形，見上圖。在軸的兩端施加轉(zhuǎn)向相反的力偶矩mA、mB，在小變形的情況下，可以看到圓棒的變形有如下特點(diǎn)：　　　1．變形前畫在表面上的圓周線的形狀、大小都沒有改變，兩相鄰圓周線之間的距離也沒有改變；　　　2．表面上的縱

2、向線在變形后仍為直線，都傾斜了同一角度g，原來的矩形變成平行四邊形。兩端的橫截面繞軸的中心線相對轉(zhuǎn)動了一個角度j，叫做相對扭轉(zhuǎn)角，見下圖。觀看動畫，理解微元體的獲得。　　通過觀察到的表面現(xiàn)象，可以推理得出以下結(jié)果：　　　★　各橫截面的大小、形狀在變形前后都沒有變化，仍是平面，只是相對地轉(zhuǎn)過了一個角度，各橫截面間的距離也不改變，從而可以說明軸向纖維沒有拉、壓變形，所以，在橫截面上沒有正應(yīng)力產(chǎn)生；　　　★　圓軸各橫截面在變形后相互錯動，矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?，這正是前面討論過的剪切變形，因此，在橫截面上應(yīng)有

3、剪應(yīng)力；　　　★　變形后，橫截面上的半徑仍保持為直線，而剪切變形是沿著軸的圓周切線方向發(fā)生的。所以剪應(yīng)力的方向也是沿著軸的圓周的切線方向，與半徑互相垂直。由此知道扭轉(zhuǎn)時橫截面上只產(chǎn)生剪應(yīng)力，其方向與半徑垂直。下面進(jìn)一步討論剪應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律?！　榱擞^察圓軸扭轉(zhuǎn)時內(nèi)部的變形情況，找到變形規(guī)律，取受扭轉(zhuǎn)軸中的微段dx來分析(上圖a)。假想O2DC截面象剛性平面一樣地繞桿軸線轉(zhuǎn)動dj，軸表面的小方格ABCD歪斜成平行四邊形ABC'D'，軸表面A點(diǎn)的剪應(yīng)變就是縱線歪斜的角g，而經(jīng)過半徑O2D上任意

4、點(diǎn)H的縱向線EH在桿變形后傾斜了一個角度gr，它也就是橫截面上任一點(diǎn)E處的剪應(yīng)變。應(yīng)該注意，上述剪應(yīng)變都是在垂直于半徑的平面內(nèi)的。設(shè)H點(diǎn)到軸線的距離為r，由于構(gòu)件的變形通常很小，即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(a)由于截面O2DC象剛性平面一樣地繞桿軸線轉(zhuǎn)動，圖上△O2HH'與△O2DD'相似，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(b)將式(b)

5、代入(a)式得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-40)上式表明，圓軸扭轉(zhuǎn)時，橫截面上靠近中心的點(diǎn)剪應(yīng)變較?。浑x中心遠(yuǎn)的點(diǎn)剪應(yīng)變較大；軸表面點(diǎn)的剪應(yīng)變最大。各點(diǎn)的剪應(yīng)變gr與離中心的距離r成正比。　根據(jù)剪切虎克定律知道剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比，即t=G·g。在彈性范圍內(nèi)剪應(yīng)變g越大，則剪應(yīng)力t也越大；橫截面上離中心為r的點(diǎn)上，其剪應(yīng)力為tr；軸表面的剪應(yīng)力為t。因此有　tr=G·gr　，t=G·g代入（1-40）式可得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-41)上式即說明了圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面

6、上剪應(yīng)力分布的規(guī)律是：橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力與它們離中心的距離成正比。圓心處剪應(yīng)力為零，軸表面的剪應(yīng)力t最大。分布情況如下圖所示?！　⊙菔緞赢嬙跈M截面上剪應(yīng)力也與剪應(yīng)變有相同的分布規(guī)律。即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-42)二、橫截面上剪應(yīng)力計算公式與最大剪應(yīng)力要計算剪應(yīng)力，只知道了橫截面上剪應(yīng)力分布規(guī)律還不夠，還必須分析截面上的扭矩M與剪應(yīng)力t之間的關(guān)系。在截面上任取一距中心為r的微面積dA，作用在微面積上的力的總和tr·dA，對中心O的力矩等于tr·dA·r。截面上

7、這些力矩合成的結(jié)果應(yīng)等于扭矩M，即　將式（1-42）代入得　　　　　　　令，稱做截面的極慣性矩。則上式可以改寫為　　　　　再令，稱做抗扭截面模量。則得到　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-43)將式(1-43)代入式(1-42)，可得出橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力計算公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-44)三、極慣性矩Jr與抗扭截面模量Wr的計算極慣性矩Jr與抗扭截面模量Wr是與截面尺寸和形狀有關(guān)的幾何量，可以按下述方法計算?！?1)對實(shí)心圓軸來

8、說，如上圖，可以取一圓環(huán)形的微面積dA，則dA=2p·r·dr，因此　　　　　　　　(2)對內(nèi)徑為d，外徑為D的空心圓軸，它的極慣性矩Jr與抗扭截面模量Wr分別為?　，　令d/D=a，則　　　　　　應(yīng)當(dāng)注意的是：圓形截面的極慣性矩是外圓與內(nèi)圓的極慣性矩之差；而它的抗扭截面模量卻不是外圓與內(nèi)圓的抗扭截面模量之差。　　下面是兩道例題，供讀者參照。例1-22.設(shè)攪拌軸的轉(zhuǎn)速為n＝50r/min，攪拌功率為N=2kW，攪拌軸的直徑d=40mm，求軸內(nèi)的最大應(yīng)力。解析：軸的外力