2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(廣東卷)

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1、2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，集合，則（）（A）（B）（C）（D）2．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，則圖中表示的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是（）（A）（B）（C）（D）3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是（）4．設(shè)，集合是奇數(shù)集，集合是偶數(shù)集．若命題，則（）（A）（B）（C）（D）5．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）（A）（B）（C）（D）6．拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是（）（A）（B）（C）（D）

2、7．函數(shù)的圖象大致是（）8．從這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別為，共可得到的不同值的個(gè)數(shù)是（）（A）（B）（C）（D）9．節(jié)日里某家前的樹(shù)上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，若接通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈在內(nèi)4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是（）（A）（B）（C）（D）10．設(shè)函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．若曲線上存在使得，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是_________．（用數(shù)字作

3、答）12．在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，，則_________．13．設(shè)，，則的值是_________．14．已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)≥時(shí)，，那么，不等式的解集是________．15．設(shè)為平面內(nèi)的個(gè)點(diǎn)，在平面內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的一個(gè)“中位點(diǎn)”．例如，線段上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)的中位點(diǎn)．則有下列命題：①若三個(gè)點(diǎn)共線，在線AB上，則是的中位點(diǎn)；②直角三角形斜邊的點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；③若四個(gè)點(diǎn)共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；④梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)．其中的真命題是____________．（寫(xiě)出所有真命

4、題的序號(hào)數(shù)學(xué)社區(qū)）三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16．(本小題滿分12分)在等差數(shù)列中，，且為和的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的首項(xiàng)、公差及前項(xiàng)和．17．(本小題滿分12分)在中，角的對(duì)邊分別為，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影．18．(本小題滿分12分)某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量在這個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生．（Ⅰ）分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出的值為的概率；（Ⅱ）甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解，各自編寫(xiě)程序重復(fù)運(yùn)行次后，統(tǒng)計(jì)記錄了輸出的值為的頻數(shù)．以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)．

5、運(yùn)行次數(shù)輸出的值為的頻數(shù)輸出的值為的頻數(shù)輸出的值為的頻數(shù)…………甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表（部分）乙的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表（部分）運(yùn)行次數(shù)輸出的值為的頻數(shù)輸出的值為的頻數(shù)輸出的值為的頻數(shù)…………當(dāng)時(shí)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫(xiě)出甲、乙所編程序各自輸出的值為的頻率（用分?jǐn)?shù)表示），并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編寫(xiě)程序符合算法要求的可能性較大；（Ⅲ）按程序框圖正確編寫(xiě)的程序運(yùn)行3次，求輸出的值為2的次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．19．(本小題滿分12分)如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，分別是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．（Ⅰ）在平面內(nèi)，試作出過(guò)點(diǎn)與平面平行的直線，說(shuō)明理由，并證明直線平面；（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中的直

6、線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求二面角的余弦值．20．(本小題滿分13分)已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的軌跡方程．21．(本小題滿分14分)已知函數(shù)，其中是實(shí)數(shù)．設(shè)，為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且．（Ⅰ）指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直，且，求的最小值；（Ⅲ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線重合，求的取值范圍．