橢圓習(xí)題精選精講

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1、www.mathfans.net中學(xué)數(shù)學(xué)免費(fèi)網(wǎng)www.mathfans.net橢圓（1）第一定義——把橢圓從圓中分離橢圓從圓（壓縮）變形而來，從而使得橢圓與圓相關(guān)而又相異.它從圓中帶來了中心和定長(zhǎng)，但又產(chǎn)生了2個(gè)新的定點(diǎn)——焦點(diǎn).準(zhǔn)確、完整地掌握橢圓的定義，是學(xué)好橢圓、并進(jìn)而學(xué)好圓錐曲線理論的基礎(chǔ).【例1】若點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1（0，-1），F(xiàn)2（0，1）的距離之和為2，則點(diǎn)M的軌跡是（）.橢圓.直線.線段.線段的中垂線.【解析】注意到且故點(diǎn)M只能在線段上運(yùn)動(dòng)，即點(diǎn)M的軌跡就是線段，選C.【評(píng)注】橢圓的定義中有一個(gè)隱含

2、條件，那就是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和必須大于兩定點(diǎn)間的距離.忽視這一點(diǎn)，就會(huì)錯(cuò)誤地選A.（2）勾股數(shù)組——橢圓方程的幾何特征橢圓的長(zhǎng)、短半軸a、b和半焦距c，滿足.在a、b、c三個(gè)參數(shù)中，只要已知或求出其中的任意兩個(gè)，便可以求出第3個(gè)，繼而寫出橢圓方程和它的一切特征數(shù)值.橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式有明顯的幾何特征，這個(gè)幾何特征就反映在這個(gè)勾股數(shù)組上.所謂解橢圓說到底是解這個(gè)勾股數(shù)組.【例2】已知圓，圓內(nèi)一定點(diǎn)（3，0），圓過點(diǎn)且與圓內(nèi)切，求圓心的軌跡方程.【解析】如圖，設(shè)兩圓內(nèi)切于C，動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則A、P、C共線.連AC

3、、PB，∵為定長(zhǎng)，而A（-3，0），B（3，0）為定點(diǎn)，∴圓心的軌跡是橢圓.且.所求軌跡方程為：.（3）第二定義——橢圓的個(gè)性向圓錐曲線共性加盟如果說橢圓第一定義的主要功能是導(dǎo)出了橢圓的方程，那么橢圓的第二定義則給橢圓及其方程給出了深刻的解釋.根據(jù)這個(gè)解釋，我們可以方便地解決許多關(guān)于橢圓的疑難問題.【例3】已知橢圓，能否在此橢圓位于y軸左側(cè)部分上找一點(diǎn)P，使它到左準(zhǔn)線的距離是它到兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的比例中項(xiàng).【解析】由橢圓方程知：.橢圓的左準(zhǔn)線為：.設(shè)存在橢圓上一點(diǎn)P（x，y）（x<0）符合所設(shè)條件.作PH⊥l于

4、H.令，則有：.但是.∴.又.本站部分信息資源來源于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)

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7、收藏之用，版權(quán)歸原作者所有！www.mathfans.net中學(xué)數(shù)學(xué)免費(fèi)網(wǎng)www.mathfans.net這與矛盾.故在橢圓左側(cè)上不存在符合題設(shè)條件的點(diǎn).●通法特法妙法（1）解析法——解析幾何存在的理由解析法的實(shí)質(zhì)是用代數(shù)的方法學(xué)習(xí)和研究幾何.在解析幾何的模式下，平面上任意一條曲線都唯一對(duì)應(yīng)著一個(gè)二元方程.反之，根據(jù)任意一個(gè)二元方程，都可以用描點(diǎn)法唯一地畫出它所對(duì)應(yīng)的曲線.因此，可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為解方程、方程組或不等式.【例4】點(diǎn)P（

8、x，y）在橢圓上，則的最大值為（）A.1B.-1C.D.【解析】設(shè)方程（1）表示過橢圓上一點(diǎn)P（x，y）和原點(diǎn)的直線.顯然當(dāng)直線在橢圓上方且與橢圓相切時(shí)，最大.將方程（1）代入橢圓方程得：由于直線與橢圓相切，故方程（2）應(yīng)有相等二實(shí)根.由.∵k>0，∴取，選D.【評(píng)注】直線與曲線相切的解析意義是相應(yīng)的一元二次方程有相等二實(shí)根，因而可轉(zhuǎn)化為其判別式為零處理；同理，直線與曲線相交要求相應(yīng)的判別式大于零，相離則要求這個(gè)判別式小于零.（2）導(dǎo)數(shù)法——把方程與函數(shù)鏈接由于解析法往往牽涉到比較繁雜的運(yùn)算，所以人們?cè)诮忸}中研究出

9、了許多既能減少運(yùn)算，又能達(dá)到解題目的的好方法，導(dǎo)數(shù)法就是最為明顯的一種.【例5】求證：過橢圓上一點(diǎn)的切線方程為：.【證明一】（解析法）設(shè)所求切線方程為：，代入橢圓方程：.化簡(jiǎn)得：∵直線與橢圓相切，∴方程（1）有相等二實(shí)根.其判別式△=0，即：.化簡(jiǎn)得：∵點(diǎn)在橢圓上，∴，方程（2）之判別式.本站部分信息資源來源于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)

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12、收藏之用，版權(quán)歸原作者所有！www.mathfans.net中學(xué)數(shù)學(xué)免費(fèi)網(wǎng)www.mathfans.net故方程（2）亦有相等二實(shí)根，且其根為：.則切線方程為：.再化簡(jiǎn)即得：.【證

13、明二】（導(dǎo)數(shù)法）對(duì)方程兩邊取導(dǎo)數(shù)：.則切線方程為：.再化簡(jiǎn)即得：.【評(píng)注】（1）兩種證法的繁簡(jiǎn)相差多大，一看便知（2）這個(gè)切線方程的實(shí)際意義很大.在有關(guān)運(yùn)算中直接引用這個(gè)公式是十分省事的.（3）幾何法——為解析法尋根朔源減少解析計(jì)算的又一個(gè)重要手段，是在解題中充分運(yùn)用平面幾何知識(shí).【例6】（07.湖南文科.9題）設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為（為半焦距）的點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是（）A．B．C．D．【解析】如圖有，設(shè)右準(zhǔn)線交x軸于H，∵，選D.【例7】已知橢圓和圓總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

14、）【解析】如右圖橢圓的中心在原點(diǎn)，且長(zhǎng)、短半軸分別為a=2，b=1；圓的圓心為C（a，0）且半徑R=1.顯然，當(dāng)圓C從橢圓左邊與之相切右移到橢圓本站部分信息資源來源于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)

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17、收藏之用，版權(quán)歸原作者所有！www.mathfans.net中學(xué)數(shù)學(xué)免費(fèi)網(wǎng)www.mathfans.net右邊與之相切時(shí)都有公共點(diǎn).此時(shí)圓心的橫坐標(biāo)由-3增加到3，故