第8章 圖論 topics in graph theory11月20日周四

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1、第8章圖論TopicsinGraphTheory§8.3Hamilton路徑和Hamilton回路周游世界問題：每個(gè)城市訪問一次只經(jīng)過一次。Hamilton公爵提出是否存在一條回路通過正二十邊形每個(gè)頂點(diǎn)恰一次。一個(gè)連通圖GHamilton路徑:經(jīng)過每個(gè)頂點(diǎn)恰一次的路徑。Hamilton回路：經(jīng)過每個(gè)頂點(diǎn)恰一次的回路。Hamilton圖：有Hamilton回路的圖。完全圖Kn，n>2，是Hamilton圖。歸納可證。n個(gè)頂點(diǎn)的連通圖G有Hamilton回路，G至少有n條邊。用p(G)表示圖G的連通分量的個(gè)數(shù)。定理

2、1.G＝(V,E)是Hamilton圖，則對(duì)任意V1íV,p(G-V1)≤

3、V1

4、.證明：設(shè)C是G的一個(gè)Hamilton回路，V1都在C上?；芈稢中去掉V1中頂點(diǎn)，至多劃分成

5、v1

6、段。因此p(C-V1)≤

7、V1

8、.例1.下圖不是Hamilton圖。引理2.n階簡單無向圖G中，l：a……vivj……b，是一條有m個(gè)頂點(diǎn)的路徑。a，b只與l中頂點(diǎn)相鄰，D(a)+D(b)≥m。則l中所有頂點(diǎn)構(gòu)成回路。證明.若a，b相鄰，a……vivj……b是回路。設(shè)a，b不相鄰。D(a)=s,D(b)=t.s+t≥m。t≥m－s。

9、l中存在相連頂點(diǎn)vi，vj，avj相鄰，bvi相鄰，avj……bvi……a構(gòu)成一個(gè)回路。定理3.n階簡單無向圖G中，n>2,任意兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的度數(shù)之和大于等于n－1，則G有Hamilton路徑。證明.取G中最長路徑：l：a……vi……vj……b。我們證明其長度為n－1，包含G的所有頂點(diǎn)，否則一定可以加長。a，b不與l外的頂點(diǎn)相鄰，否則l可以加長。設(shè)l的長度≤n－2，l上共有頂點(diǎn)少于n－1個(gè)。a,b度數(shù)和大于n－1，由引理1.l的所有頂點(diǎn)組成回路。這時(shí)有一頂點(diǎn)c不在l上，cc必與l中一點(diǎn)vi相鄰。我們得到含有頂

10、點(diǎn)c，和l中所有頂點(diǎn)的路徑，長度比l更長。推論4.n階簡單無向圖G中，n>2,任意兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的度數(shù)之和大于等于n，則G有Hamilton回路。證明.由定理3，G有Hamilton路徑。由引理2，這條路徑可以構(gòu)成一條Hamilton回路。推論5.n階簡單無向圖G中，n>2,任意頂點(diǎn)的度數(shù)大于等于n/2，則G有Hamilton回路。定理6.G有n個(gè)頂點(diǎn)，m條邊，如果，則G是Hamilton圖。證明.任取不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)u，v∈G，G中去掉u，v后導(dǎo)出子圖G’,G’有n－2個(gè)頂點(diǎn)，至多條邊。u，v到G’的邊數(shù)有D

11、(u)+D(v)≥n.由推論4.G是Hamilton圖。HomeworkPP2961－6，16，17，20補(bǔ).亞瑟王召見100個(gè)武士，每個(gè)武士至多49個(gè)仇人，則亞瑟王可以讓這100個(gè)武士坐成一圈，使每個(gè)武士都不與仇人相鄰。§8.4運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)TransportNetworks留作自學(xué)材料?！?.5匹配問題MatchingProblem二部圖、偶圖BipartiteGraph：無向圖G＝(V,E),V=V1∪V2，V1∩V2＝?。V1中頂點(diǎn)互不相鄰，V2中頂點(diǎn)互不相鄰，任意邊連接V1，V2中各一個(gè)頂點(diǎn)。G=(V1,V

12、2,E).完全二部圖：V1中每個(gè)頂點(diǎn)與V2中每個(gè)頂點(diǎn)都相鄰。

13、V1

14、=m,

15、V2

16、=n,完全二部圖記做Km,n。K2,3,K3,3.定理1.二部圖中沒有奇數(shù)長的回路。左邊兩圖同構(gòu)是K2,3，右邊都是K3,3.E*íE.E*中的邊互不相連，稱E*為G的一個(gè)匹配。邊數(shù)最大的匹配叫最大匹配。鄰接V1或V2中所有頂點(diǎn)的匹配叫完全匹配。

17、V1

18、=

19、V2

20、時(shí)，完全匹配也叫完美匹配。定理2.（Hall定理）設(shè)G=(V1,V2,E),

21、V1

22、≤

23、V2

24、.G中有完全匹配iffV1中任意k個(gè)頂點(diǎn)至少與V2中任意k個(gè)頂點(diǎn)相鄰，即，任

25、意XíV1，

26、X

27、≤

28、R(X)

29、，R(X)為與X中頂點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)的集合。證明.T是顯然的。ü對(duì)V1中頂點(diǎn)個(gè)數(shù)歸納：

30、V1

31、=1是顯然的。設(shè)

32、V1

33、=k時(shí)定理成立。

34、V1

35、=k＋1：1）如果V1中任意k個(gè)頂點(diǎn)都至少與V2中k＋1個(gè)頂點(diǎn)相鄰，從G中去掉一條邊，V1中任意k個(gè)頂點(diǎn)都至少與V2中k個(gè)頂點(diǎn)相鄰，存在完美匹配。2）如果V1中存在k個(gè)頂點(diǎn)只與V2中k個(gè)頂點(diǎn)相鄰，例如{a1,a2,……，ak}íV1，{b1,b2,……，bk}íV2，{a1,a2,……，ak}只與{b1,b2,……，bk}相鄰。則V1－{a1,

36、a2,……，ak}任意s個(gè)頂點(diǎn)，都與V2－{b1,b2,……，bk}中s個(gè)頂點(diǎn)相連。兩部分都有完美匹配。推論3.二部圖G＝(V1,V2,E)中如果（1）V1中每個(gè)頂點(diǎn)至少與V2中t條邊相鄰。（2）V2中每個(gè)頂點(diǎn)至多與V1中t條邊相鄰。則G有完美匹配。證明.V1中任意k個(gè)頂點(diǎn)的總度數(shù)≥kt。V2中任意k個(gè)頂點(diǎn)的總度數(shù)≤kt。V1中任意k個(gè)頂點(diǎn)至少與V2中k條邊相鄰。由Hall定理，G有完