運用雙向表求解古典概型問題研究

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1、發(fā)表于《上海中學數(shù)學》2011年第1期運用“雙向表”求解古典概型問題研究314300浙江海鹽元濟高級中學盧明1．問題的提出列舉法是解高中數(shù)學古典概型問題的常用方法．按照參變量的個數(shù)分類，列舉法可以分為一維列舉、二維列舉乃至多維列舉．例如，“同時擲2顆骰子，求向上的數(shù)字之積大于6的概率”就是一個“二維列舉”的問題．此類問題，通常采用“實數(shù)對”的方法來列舉、求解．然而，隨著基本事件個數(shù)的增加，“實數(shù)對”法列舉時非常容易遺漏情況，從而導致出錯．橫標目縱標目兩個變量滿足的某種關系（表1）“雙向表”是教育統(tǒng)計學中

2、研究雙變量問題的一種常用工具．表格的橫標目表示一個變量的情況，縱標目表示另一個變量的情況，表格的中間部分表示兩個變量所滿足的某種關系．（見表1）筆者借助這一工具，嘗試求解“二維列舉”型古典概率問題，起到了事半功倍的效果．2．“雙向表”的基本應用例1將一個骰子先后擲2次，向上的數(shù)字之和等于6的概率是多少？分析：這是一個“二維列舉”問題，滿足條件的基本事件可以用“實數(shù)對”來列舉：，，，，，共5種．本題中的基本事件總數(shù)為種，于是，所求的概率等于．12345612345672345678345678945678

3、9105678910116789101112下面介紹怎樣用“雙向表”來求解．解：記第一次擲的點數(shù)為，第二次擲的點數(shù)為，．則的取值情況見“雙向表”（表2）．因為擲骰子時，骰子的每個面向上的可能性都是相等的，即為等可能事件．又兩次擲骰子是互相獨立的，所以，所取到的每一個值也是等可能的．故兩次擲得的向上的數(shù)字之和等于6的概率為：（表2）．點評：以上解法，所有的基本事件都已經(jīng)在“雙向表”中列出，由于-7-取到表內(nèi)的各數(shù)值是等可能的，所以，計算基本事件個數(shù)只要數(shù)一下表內(nèi)相應數(shù)字的個數(shù)就可以了．如果將題目改成“將一

4、個骰子先后擲2次，求向上的數(shù)字之和大于6的概率”，那么，用“雙向表”法明顯比用“實數(shù)對”法要簡捷得多，且列舉時可以避免遺漏現(xiàn)象．例2（09·浙江理樣卷19）甲從裝有編號為1，2，3，4，5的卡片的箱子中任取一張，乙從裝有編號為2，4的卡片中任取一張．用、分別表示甲、乙取得的卡片上的數(shù)字．（1）求概率；（2）記，求的分布列與數(shù)學期望．123452××√√√4××××√解：（1）記“”為事件，則的發(fā)生情況見“雙向表”（表3）．因為甲、乙抽卡片抽到的結果是等可能事件，所以表內(nèi)的10個結果出現(xiàn)的情況也是等可能的

5、．記“√”表示滿足，“×”表示不滿足．（表3）于是．（2）由題意，，則，見（表4），的分布列為：12345222345444445，，（表4），．．點評：“雙向表”中橫向、縱向兩個變量的取值個數(shù)可以是不同的；“雙向表”中所填的數(shù)據(jù)也不一定是兩個變量的運算結果，如兩個變量的“和”、“積”等，它們可以是兩個變量大小比較的結果．例3（04·浙江理18）盒子中有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個．第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設取到每個球的可能性

6、都相同），記第一次與第二次取到球的標號之和為．-7-1251236234756710（1）求隨機變量的分布列；（2）求隨機變量的期望．解：（1）記第一次抽到的標號為，第二次抽到的標號為，．則的取值情況（表5）見“雙向表”（表5）．依題意得，取到1號球、2號球和5號球的概率分別是、和，所以，表5內(nèi)的取值不是等可能的，故不能用“數(shù)個數(shù)”的方法來計算基本事件的個數(shù)．但我們可以用排列組合的思想來計算基本事件的個數(shù)．隨機變量的分布列為：，，，，，．（2）略．點評：如果“雙向表”中所列出的基本事件（數(shù)據(jù)）不是可能性

7、的，則必須用排列組合的方法來求基本事件的個數(shù)．在求的分布列時，諸如中的系數(shù)“”表示“雙向表”中基本事件“”出現(xiàn)的次數(shù)（下同）．-7-錯解：由“雙向表”得，隨機變量的分布列為：，，，，，．例4（06·安徽卷理19）在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方案作比較．在試制某種牙膏新品種時，需要兩種不同的添加劑．現(xiàn)有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用．根據(jù)試驗設計原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗．用表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和．求

8、的各概率．分析：記第一種添加劑的芳香度為，0123450×1234511×3456223×5673345×7844567×955（表6）6789×第二種添加劑的芳香度為，．則的取值情況見“雙向表”（表6）．因為表示所選用的兩種不同添加劑的芳香度之和，故“雙向表”中對角線上的數(shù)據(jù)不存在．（具體解題過程略）點評：此例進一步說明了“雙向表”內(nèi)的數(shù)據(jù)可以隨具體情況的變化而變化，進而說明了“雙向表”在解“二維列舉”型概率問題時適用的廣泛性．3．“雙向