模糊集合的模糊程度模糊熵

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1、四、模糊集合的模糊程度——模糊熵四、模糊集合的模糊程度——模糊熵A的模糊熵E(A)，在單位超立方體In中從0到1，其中頂點(diǎn)的熵為0，表明不模糊，中點(diǎn)的熵為1，是最大熵。從頂點(diǎn)到中點(diǎn)，熵逐漸增大。簡單地從幾何圖形上來考慮可以得到熵的比例形式：熵是一個一般性的概念，它度量了一個系統(tǒng)或一段信息的不確定性。模糊熵描述了一個模糊集的模糊性程度。一般的定義[1]：（1）分明集是不模糊的，則分明集的模糊熵為0；（2）[1/2]是隸屬性最難確認(rèn)的模糊集，[1/2]的模糊性應(yīng)最大（3）模糊集A與距[1/2]的1遠(yuǎn)近程度是相同的，則要求A與的模糊程

2、度一樣（4）模糊集A的模糊性應(yīng)具有單調(diào)變化的性質(zhì)，即A越接近[1/2],A的模糊性越大；A越遠(yuǎn)離[1/2],A的模糊性越小。四、模糊集合的模糊程度——模糊熵模糊熵定理：模糊熵定理的幾何圖示。由對稱性，完整模糊方形的四個點(diǎn)到各自的最近頂點(diǎn)、最遠(yuǎn)頂點(diǎn)的距離都相等。該定理正式宣告了“西方邏輯”的終止。（）四、模糊集合的模糊程度——模糊熵k>0是常數(shù)很多文章是用這個定義來求模糊熵另外的一種定義（類似于信息論中熵的定義）四、模糊集合的模糊程度——模糊熵五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理主導(dǎo)隸屬度函數(shù)關(guān)系(dominatedmember

3、shipfunctionrelationship)：如果A=(.30.7)和B=(.4.7.9)，那么A就是B的一個模糊子集，但B不是A的模糊子集。顯然，這種模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白的,是二值定義下的子集性(Zadeh’s1965)。1.模糊子集的幾何表示B的所有模糊子集構(gòu)成集合——模糊冪集F(2B)，它構(gòu)成了在單位超立方體中倚著原點(diǎn)的規(guī)則的超長方形，其邊寬等于各隸屬度值mB(xi)。可以用Lebesgue測度或體積V(B)來度量F(2B)的大小，其中，體積V(B)為隸屬度值的乘積：五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定

4、理圖7.72.包含度定理：在圖7.7中，點(diǎn)A可以是長方形內(nèi)的點(diǎn)，也可以不是。在長方形F(2B)外不同的點(diǎn)A是B的不同程度的子集。而上述二值定義下的子集性忽略了這一點(diǎn)?？紤]到集合A屬于F(2B)的不同程度，通過抽象隸屬度函數(shù)來定義包含度：S(.,.)在[0,1]之間取值，其代表了多值的子集測度（包含度），是模糊理論中的基本的、標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)。五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理度量S(.,.)的兩種方法：(1)代數(shù)方法:即失配法(fit-violationstrategy)假定X包含有100個元素：X={x1,…,x100}。而只有

5、第一個元素違背了主導(dǎo)隸屬度函數(shù)關(guān)系，使得mA(x1)>mB(x1)。直觀上，我們認(rèn)為A很大程度上是B的子集?？梢怨浪?，子集性為S(A,B)=0.99，并且，如果X包括1兆個元素，A幾乎完全是B的子集了?？梢娛涞姆萴A(x1)-mB(x1)越大，失配的數(shù)目相對于模糊集A的大小越多，那么A就越不能算是B的子集，或者說，A就越象是B的超集。直觀上有：五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理失配數(shù)的計算：?max(0,mA(x)-mB(x))歸一化之后得到超集的最小度量：包含度為：五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理這種包含度滿足主

6、導(dǎo)隸屬度函數(shù)關(guān)系，當(dāng)時，S(A,B)=1。如果S(A,B)=1，則分子被加數(shù)應(yīng)都為0，因此主導(dǎo)隸屬度函數(shù)關(guān)系都滿足。反之，當(dāng)且僅當(dāng)B是空集時，S(A,B)=0。而空集本來就無法包含集合，無論是模糊集還是非模糊集。在這兩種極端情況之間，包含度的大小為：0

7、接近于1，當(dāng)A遠(yuǎn)離F(2B)時,S(A,B)應(yīng)該減小。那么A與F(2B)之間的距離如何計算？五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理圖7.7尋找B*(A位于F(2B)外):通過F(2B)邊線的直線延伸，將超立方體In分割成2n個超長方形。他們分為混合的或是純的主值隸屬度。非子集A1,A2,A3,分別位于不同的象限。通過F(2B）與A1,A3的范數(shù)距離，分別找到與西北和東南象的點(diǎn)A1,A3距離最近的點(diǎn)B1*和B3*。而離東北象限中的點(diǎn)A2距離最近的點(diǎn)B*就是B自身。由此可證得一般性勾股定理。且這種“正交”優(yōu)化情況表明d(A,B)就是

8、lp直角三角形的斜邊。五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理以B為中心的l1范數(shù)區(qū)域呈鉆石形。A1和A2到F(2B)等距，但A1比A2離B更近。而同時，M(A1)>M(A2)?？梢?，包含度依賴于基數(shù)M(A)?？紤]歸一化，進(jìn)一步猜測：定義超集度為：d(A,F(2B