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1、智浪教育—普惠英才文庫北京航空航天大學(xué)2010年數(shù)學(xué)競賽答案一.填空題（本題共60分）1.設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，對任意正數(shù)，有，且，則_______________2.設(shè)則__________________3.已知在內(nèi)可導(dǎo)，且，，則___________4.已知則5.當(dāng)滿足________時，級數(shù)絕對收斂.6._____________7.已知，，且在上有，則________8.計算積分_______________9.設(shè)是八面體的表面，則積分=_______________10.設(shè)由曲線與直線所圍的均勻薄片(面密度為)繞過原點的任意直線的轉(zhuǎn)動，則該轉(zhuǎn)動慣量中的最小值
2、為____________________133智浪教育—普惠英才文庫二.(本題10分)設(shè),試問中哪一個的變動對R影響最大?解,兩邊取全微分故,,由于,所以因此的變動對R影響最大.三、(本題10分)已知.（1）證明；（2）求.解:.設(shè)，,,133智浪教育—普惠英才文庫所以四、(本題10分)計算曲面積分其中的部分的外側(cè).解:作輔助曲面下側(cè)；，下側(cè)。原式=，原式=.五、(本題10分)求最小的實數(shù)C，使得滿足的連續(xù)函數(shù)都有.解:一方面。另一方面，取,則,而因此最小的實數(shù)C=2.北京航空航天大學(xué)2009年數(shù)學(xué)競賽試題解答133智浪教育—普惠英才文庫一、填空題（每題5分）1.2
3、.設(shè)則3.當(dāng)是等價無窮小，則4.設(shè)則5.設(shè)6.求二重積分7.已知8．設(shè)曲線起點和終點坐標(biāo)依次為、，則變力沿該曲線做功為。9．已知，則10．設(shè)有向曲面外側(cè)。則積分133智浪教育—普惠英才文庫二、設(shè)函數(shù)試討論函數(shù)的奇偶性，并求，偶函數(shù)。三、設(shè)試判別級數(shù)的斂散性.，因為所以級數(shù)收斂。四、計算曲面積分.其中是曲面介于兩平面之間的那部分表面的外側(cè)。作輔助平面上側(cè)，下側(cè)，五、在曲面：內(nèi)如何作內(nèi)接長方體，才能使得長方體的體積最大？求最大體積。在第一卦限的上取一點做為長方體的頂點，則該長方體的體積為133智浪教育—普惠英才文庫設(shè)拉格朗日函數(shù)，解得最大體積為六、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)
4、，滿足，且試證明：在內(nèi)至少存在一點使得證明：設(shè)輔助函數(shù)則又由知，從而存在使得由羅爾定理知在內(nèi)至少存在一點使得，即有北京航空航天大學(xué)2008年數(shù)學(xué)競賽試卷一．填空題（每題4分，共40分）133智浪教育—普惠英才文庫二(10分)．求三(10分).四(10分).133智浪教育—普惠英才文庫五(10分).已知函數(shù)為上的連續(xù)函數(shù),且滿足方程,求的表達(dá)式.六(10分).七(10分).求,其中C為曲線(R>0),若從z軸正向看去，C為逆時針方向.北京航空航天大學(xué)2007年數(shù)學(xué)競賽試卷一、填空題（本題共40分）133智浪教育—普惠英才文庫二、(本題10分)設(shè)是的次多項式，。1.證明對
5、任意的正整數(shù)，有2.證明對任意的正整數(shù)，有三、(本題10分)已知函數(shù)計算四、(本題10分)133智浪教育—普惠英才文庫五、(本題10分)計算六、(本題10分)七、(本題10分)北京航空航天大學(xué)2006年數(shù)學(xué)競賽試卷一、填空題（本題共40分）133智浪教育—普惠英才文庫二、(本題10分)三、(本題10分)四、(本題10分)五、(本題10分)六、(本題10分)七、(本題10分)北京航空航天大學(xué)2005年數(shù)學(xué)競賽試卷一、填空題（本題共40分）133智浪教育—普惠英才文庫二、(本題10分)三、(本題10分)四、(本題10分)五、(本題10分)133智浪教育—普惠英才文庫六、(
6、本題10分)七、(本題10分)北京航空航天大學(xué)2004年數(shù)學(xué)競賽試卷133智浪教育—普惠英才文庫一、填空題（本題共40分）二、(本題10分)三、(本題10分)四、(本題10分)133智浪教育—普惠英才文庫五、(本題10分)六、(本題10分)七、(本題10分)第十九屆北京市大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽本科甲、乙組試題解答一、填空題（每小題3分，共30分）133智浪教育—普惠英才文庫1.=1/6.2．設(shè)連續(xù)，在處可導(dǎo)，且滿足則曲線在處的切線方程為y=2x－2.3.設(shè),則－2.4．設(shè)函數(shù)可導(dǎo)且，二元函數(shù)滿足，則.5.設(shè)是由曲線和直線,所圍成的區(qū)域,是連續(xù)函數(shù),則－2.6..7.數(shù)項級數(shù)的
7、和－1+cos1+ln2.8.計算積分=1/2.9.已知入射光線的路徑為,則此光線經(jīng)過平面反射后的反射線方程為.10.設(shè)曲線的長度為L,則.二、(10分)設(shè)在上二階可導(dǎo)，且而當(dāng)時,證明在內(nèi)，方程有且僅有一個實根．證明由于當(dāng)時，因此單調(diào)減，從而，于是又有嚴(yán)格單調(diào)減．再由知，最多只有一個實根．下面證明必有一實根．當(dāng)時，133智浪教育—普惠英才文庫，即，上式右端當(dāng)時，趨于，因此當(dāng)充分大時，，于是存在，使得，由介值定理存在，使得．綜上所述，知在有而且只有一個實根．三、(10分)設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),,且,證明在取得極值,判斷此極值是極大值還是極小值,并求出此極
