7.4 單元剛度矩陣組裝及整體分析

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1、7.4單元剛度矩陣組裝及整體分析7.4.1單剛組裝形成總剛根據(jù)全結(jié)構(gòu)的平衡方程可知，總體剛度矩陣是由單元剛度矩陣集合而成的.如果一個結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型分成個單元，那么總體剛度矩陣可由各個單元的剛度矩陣組裝而成，即[K]是由每個單元的剛度矩陣的每個系數(shù)按其腳標(biāo)編號“對號入座”疊加而成的.這種疊加要求在同一總體坐標(biāo)系下進(jìn)行.如果各單元的剛度矩陣是在單元局部坐標(biāo)下建立的，就必須要把它們轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)（總體）坐標(biāo)系.將總體坐標(biāo)軸分別用表示，對某單元有式中，和分別是局部坐標(biāo)系和總體坐標(biāo)系下的單元結(jié)點(diǎn)位移向量;［T］為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換陣，僅與兩個坐

2、標(biāo)系的夾角有關(guān)，這樣就有是該單元在總體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣.以后如不特別強(qiáng)調(diào)，總體坐標(biāo)系下的各種物理參數(shù)均不加頂上的橫杠.下面就通過簡單的例子來說明如何形成總體剛度矩陣.設(shè)有一個簡單的平面結(jié)構(gòu)，選取6個結(jié)點(diǎn)，劃分為4個單元.單元及結(jié)點(diǎn)編號如圖3-27所示.每個結(jié)點(diǎn)有兩個自由度.總體剛度矩陣的組裝過程可分為下面幾步：圖7-27（1）按單元局部編號順序形成單元剛度矩陣.圖7-27中所示的單元③，結(jié)點(diǎn)的局部編號順序?yàn)?形成的單元剛度矩陣以子矩陣的形式給出是（2）將單元結(jié)點(diǎn)的局部編號換成總體編號，相應(yīng)的把單元剛度矩陣中的子矩陣的下標(biāo)

3、也換成總體編號.對下圖3-27所示單元③的剛度矩陣轉(zhuǎn)換成總體編號后為（3）將轉(zhuǎn)換后的單元剛度矩陣的各子矩陣，投放到總體剛度矩陣的對應(yīng)位置上.單元③的各子矩陣投放后情況如下：（4）將所有的單元都執(zhí)行上述的1，2，3步，便可得到總體剛度矩陣，如式（3-9）.其中右上角的上標(biāo)表示第單元所累加上的子矩陣.??????（3-9）（5）從式（3-9）可看出，總體剛度矩陣中的子矩陣AB是單元剛度矩陣的子矩陣轉(zhuǎn)換成總體編號后具有相同的下標(biāo)，的那些子矩陣的累加.總體剛度矩陣第行的非零子矩陣是由與結(jié)點(diǎn)相聯(lián)系的那些單元的子矩陣向這行投放所構(gòu)成的.7

4、.4.2?結(jié)點(diǎn)平衡方程我們首先用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法建立結(jié)點(diǎn)平衡方程.連續(xù)介質(zhì)用有限元法離散以后，取出其中任意一個結(jié)點(diǎn)，從環(huán)繞點(diǎn)各單元移置而來的結(jié)點(diǎn)載荷為式中表示對環(huán)繞結(jié)點(diǎn)的所有單元求和，環(huán)繞結(jié)點(diǎn)的各單元施加于結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力為.因此，結(jié)點(diǎn)的平衡方程可表示為?????（3-10）以[K]代入平衡方程，得到以結(jié)點(diǎn)位移表示的結(jié)點(diǎn)的平衡方程，對于每個結(jié)點(diǎn)，都可列出平衡方程，于是得到整個結(jié)構(gòu)的平衡方程組如下：式中，[K]為整體剛度矩陣，為全部結(jié)點(diǎn)位移組成的向量，為全部結(jié)點(diǎn)載荷組成的向量.當(dāng)然，如果各點(diǎn)的載荷向量也是在單元局部坐標(biāo)下建立的，在合成以

5、前，也應(yīng)把它們轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)（總體）坐標(biāo)系下，即式中，是總體坐標(biāo)系下的結(jié)點(diǎn)載荷向量，為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換陣.7.4.3位移邊界條件在有限元法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析時，建立了整體剛度矩陣[K]，也得到了結(jié)構(gòu)的剛度平衡方程，即.結(jié)構(gòu)剛度方程的求解相當(dāng)于總剛[K]求逆的過程.但是，從數(shù)學(xué)上看，未經(jīng)處理的總剛是對稱、半正定的奇異矩陣，它的行列式值為零，不能立即求逆.從物理意義看，在進(jìn)行整體分析時，結(jié)構(gòu)是處于自由狀態(tài)，在結(jié)點(diǎn)載荷的作用下，結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生任意的剛體位移.所以，在已知結(jié)點(diǎn)載荷的條件下，仍不能通過平衡方程惟一地解出結(jié)點(diǎn)位移.為了使問題可解，

6、必須對結(jié)構(gòu)加以足夠的位移約束，也就是應(yīng)用位移邊界條件.首先要通過施加適當(dāng)?shù)募s束，消除結(jié)構(gòu)的鋼體位移，再根據(jù)問題要求設(shè)定其他已知位移.所以，處理位移邊界條件在有限元分析步驟中十分重要.約束的種類包括使某些自由度上位移為零，，或給定其位移值，還有給定支承剛度等，本書涉及前兩種.處理約束的方法，常用的有刪行刪列法、分塊法、置大數(shù)法和置“1”法等，下面分別予以介紹.1、刪行刪列法若結(jié)構(gòu)的某些結(jié)點(diǎn)位移值為零時（即與剛性支座連接點(diǎn)的位移），則可將總體剛度矩陣中相應(yīng)的行列、刪行刪列劃掉，然后將矩陣壓縮即可求解.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是道理簡單.如果

7、刪去的行列很多，則總體剛度矩陣的階數(shù)可大大縮小.通常用人工計(jì)算時常采用該方法.若用計(jì)算機(jī)算題，在程序編制上必帶來麻煩，因?yàn)閯偠染仃噳嚎s以后，剛度矩陣中各元素的下標(biāo)必全改變.因而一般計(jì)算機(jī)算題不太采用.2．分塊法為了理解這個方法，我們把方程分塊如下：???????（3-11）其中，假設(shè)是給定的結(jié)點(diǎn)位移；是無約束的（自由）結(jié)點(diǎn)位移.因而是已知的結(jié)點(diǎn)力；是未知的結(jié)點(diǎn)力.方程（3-11）可以寫為即???????????（3-12）和??????????（3-13）其中，不是奇異的，因而可以解方程（3-12）得出?????????（3-

8、14）一旦知道了，就可以由方程（3-13）求得未知結(jié)點(diǎn)力.在全部給定的結(jié)點(diǎn)自由度都等于零的特殊情況下，我們可以刪除對應(yīng)于的各行和各列（即刪行刪列法），故可把方程簡寫為???????????????（3-15）3．置“1”法由于全部給定的結(jié)點(diǎn)位移通常都不能在位移向量的開始或終了