1.3.3 全稱命題與特稱命題的否定 (2)

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1、高考資源網(wǎng)（ks5u.com）您身邊的高考專家第一章常用邏輯用語1.3.3全稱命題與特稱命題的否定一、創(chuàng)設(shè)情境數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn)“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個”、“至少有一個”等的詞語，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞（用符號分別記為“”與“”來表示）；由這樣的量詞構(gòu)成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。在全稱命題與存在性命題的邏輯關(guān)系中，都容易判斷，但它們的否定形式是我們困惑的癥結(jié)所在。二、活動嘗試問題1：指出下列命題的形式，寫出下列命題的否定。（1）所有的矩形都是平行四邊形；（2）每一個素數(shù)都是奇數(shù)；（3）"x?R，x2

2、-2x+1≥0分析：（1）"，否定：存在一個矩形不是平行四邊形；（2），否定：存在一個素數(shù)不是奇數(shù)；（3），否定：$x?R，x2-2x+1<0；這些命題和它們的否定在形式上有什么變化？結(jié)論：從命題形式上看，這三個全稱命題的否定都變成了存在性命題.三、師生探究問題2：寫出命題的否定（1）p：$x∈R，x2＋2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等邊三角形；（3）p：有些函數(shù)沒有反函數(shù)；（4）p：存在一個四邊形，它的對角線互相垂直且平分；分析：（1）"x?R，x2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等邊三角形；（3）任何函數(shù)都有反函數(shù)；（4）對于所有的四邊形，它的對角線不可能互相垂直或平分；從集合

3、的運算觀點剖析：,四、數(shù)學(xué)理論1.全稱命題、存在性命題的否定一般地，全稱命題P："x?M,有P（x）成立；其否定命題┓P為：$x∈M,使P（x）不成立。存在性命題P：$x?M，使P（x）成立；其否定命題┓P為："x?M,有P（x）不成立。用符號語言表示：P:"?M,p(x）否定為?P:$?M,?P（x）P:$?M,p(x）否定為?P:"?M,?P（x）在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，并把量詞作用范圍進(jìn)行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定.2.關(guān)鍵量詞的否定-3-www.ks5u.com版權(quán)

4、所有@高考資源網(wǎng)高考資源網(wǎng)（ks5u.com）您身邊的高考專家詞語是一定是都是大于小于且詞語的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或詞語必有一個至少有n個至多有一個所有x成立所有x不成立詞語的否定一個也沒有至多有n-1個至少有兩個存在一個x不成立存在有一個成立五、鞏固運用例1寫出下列全稱命題的否定：（1）p：所有人都晨練；（2）p："x?R，x2＋x+1>0；（3）p：平行四邊形的對邊相等；（4）p：$x∈R，x2－x+1＝0；解：（1）?P：有的人不晨練；（2）$x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四邊形，它的的對邊不相等；（4）"x?R，x2－x+1≠0；例2寫出下列命題的否定。

5、（1）所有自然數(shù)的平方是正數(shù)。（2）任何實數(shù)x都是方程5x-12=0的根。（3）對任意實數(shù)x，存在實數(shù)y，使x+y＞0.（4）有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)。解：（1）的否定：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)。（2）的否定：存在實數(shù)x不是方程5x-12=0的根。（3）的否定：存在實數(shù)x,對所有實數(shù)y，有x+y≤0。（4）的否定：所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)。解題中會遇到省略了“所有，任何，任意”等量詞的簡化形式，如“若x＞3，則x2＞9”。在求解中極易誤當(dāng)為簡單命題處理；這種情形下時應(yīng)先將命題寫成完整形式，再依據(jù)法則來寫出其否定形式。例3寫出下列命題的否定。（1）若x2＞4則x＞2.。（2）若m≥0,則x2+x-m=0有實數(shù)

6、根。（3）可以被5整除的整數(shù)，末位是0。（4）被8整除的數(shù)能被4整除。（5）若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等。解（1）否定：存在實數(shù)，雖然滿足＞4，但≤2。或者說：存在小于或等于2的數(shù)，滿足＞4。（完整表達(dá)為對任意的實數(shù)x,若x2＞4則x＞2）（2）否定：雖然實數(shù)m≥0,但存在一個，使+-m=0無實數(shù)根。（原意表達(dá)：對任意實數(shù)m,若m≥0,則x2+x-m=0有實數(shù)根。）（3）否定：存在一個可以被5整除的整數(shù)，其末位不是0。（4）-3-www.ks5u.com版權(quán)所有@高考資源網(wǎng)高考資源網(wǎng)（ks5u.com）您身邊的高考專家否定：存在一個數(shù)能被8整除，但不能被4整除.(原意表達(dá)為所有能被8

7、整除的數(shù)都能被4整除)（5）否定：存在一個四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。（原意表達(dá)為無論哪個四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。）例4寫出下列命題的非命題與否命題，并判斷其真假性。?。?）p：若x＞y,則5x＞5y；（2）p：若x2+x﹤2,則x2-x﹤2；（3）p：正方形的四條邊相等；（4）p：已知a,b為實數(shù)，若x2+ax+b≤0有非空實解集，則a2-4b