求陰影部分圖形面積新題型

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1、求陰影部分圖形面積新題型近年來(lái)的中考數(shù)學(xué)試卷中，圍繞圖形面積的知識(shí)，出現(xiàn)了一批考查應(yīng)用與創(chuàng)新能力的新題型，歸納起來(lái)主要有：一、規(guī)律探究型例1宏遠(yuǎn)廣告公司要為某企業(yè)的一種產(chǎn)品設(shè)計(jì)商標(biāo)圖案，給出了如下幾種初步方案，供繼續(xù)設(shè)計(jì)選用（設(shè)圖中圓的半徑均為r）．（1）如圖1，分別以線段O1O2的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，以這條線段的長(zhǎng)為半徑作出兩個(gè)互相交錯(cuò)的圓的圖案，試求兩圓相交部分的面積．（2）如圖2，分別以等邊△O1O2O3的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑，作出三個(gè)兩兩相交的相同的圓，這時(shí)，這三個(gè)圓相交部分的面積又是多少呢？（3）如圖3，分別以正方形O1O2O3O4的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊

2、長(zhǎng)為半徑作四個(gè)相同的圓，則這四個(gè)圓的相交部分的面積又是多少呢？（2005年黃岡市中考題）分析（1）利用“S陰=S菱形AO1BO2=4S弓形”即可；（2）利用“S陰=S△O1O2O3+3S弓”即可；（3）直接求解比較困難，可利用求補(bǔ)法，即“S陰=S正方形O1O2O3O4-S空白”，考慮到四個(gè)圓半徑相同，若延長(zhǎng)O2O1交⊙O1于A，則S空白=4SO1AB，由（1）根據(jù)對(duì)稱性可求SO1BO4，再由“SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4”，這樣S空白可求．解答（1）設(shè)兩圓交于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)O1A，O2A，O1B，O2B．則S陰=S菱形AO1BO2+4S弓．∵S菱形=2S

3、△AO1O2，△O1O2A為正△，其邊長(zhǎng)為r．∴S△AO1O2=r2，S弓=-r2=-r2．∴S陰=2×r2+4（r2-r2）=r2-r2．（2）圖2陰影部分的面積為S陰=S△O1O2O3+3S弓．∵△O1O2O3為正△，邊長(zhǎng)為r．-7-∴S△O1O2O3=r2，S弓=-r2．∴S陰=r2+3（-r2）=r2-r2．（3）延長(zhǎng)O2O1與⊙O1交于點(diǎn)A，設(shè)⊙O1與⊙O4交于點(diǎn)B，由（1）知，SO1BO4=（r2-r2）．∵SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4=-（r2=r2）=-r2+r2．則S陰=S正方形O1O2O3O4-4SO1AB=r2-4（-r2+r2）=r2

4、+r2-r2=（+1-）r2．二、方案設(shè)計(jì)型例2在一塊長(zhǎng)16m，寬12m的矩形荒地上，要建造一個(gè)花園，要求花園所占面積為荒地面積的一半．下面分別是小明和小穎的設(shè)計(jì)方案．小明的設(shè)計(jì)方案：如圖1，其中花園四周小路的寬度相等，經(jīng)過(guò)解方程，我得到路的寬為2m或12m．小穎的設(shè)計(jì)方案：如圖2，其中花園中每個(gè)角上的扇形都相同．（1）你認(rèn)為小明的結(jié)果對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．-7-（2）請(qǐng)你幫助小穎求出圖中的x（精確到0．1m）（3）你還有其它的設(shè)計(jì)方案嗎？請(qǐng)?jiān)谟疫叺木匦沃挟?huà)出你的設(shè)計(jì)草圖，并加以說(shuō)明．分析（1）由小明的設(shè)計(jì)知，小路的寬應(yīng)小于矩形荒地寬的一半，由此判斷即可；（2）可由“花園面積

5、為矩形面積一半”列方程求x；（3）可由圖形對(duì)稱性來(lái)設(shè)計(jì)．解（1）小明的結(jié)果不對(duì)．設(shè)小路寬xm，則得方程（16-2x）（12-2x）=×16×12解得：x1=2，x2=12．而荒地的寬為12m，若小路寬為12m，不符合實(shí)際情況，故x2=12m不合題意．（2）由題意，4×=×16×12x2=，x≈5.5m．（3）方案有多種，下面提供5種供參考：三、網(wǎng)格求值型例3圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形．（1）直接寫(xiě)出單位正三角形的高與面積；（2）圖1中的ABCD含有多少個(gè)單位正三角形？ABCD的面積是

6、多少？（3）求出圖1中線段AC的長(zhǎng)（可作輔助線）；（4）求出圖2中四邊形EFGH的面積．分析（1）由正三角形邊角關(guān)系來(lái)求；（2）仔細(xì)觀察圖1便可找到答案；（3）考慮到圖1中AB=3，BC=4，∠B=60°，可作△-7-ABC的高AK，構(gòu)造直角三角形，再利用解直角三角形知識(shí)即可求得；（4）可利用網(wǎng)格構(gòu)造特殊格點(diǎn)圖形，再由求補(bǔ)法計(jì)算四邊形EFGH面積．解：（1）單位正三角形的角為，面積為，（2）ABCD含有24個(gè)單位正三角形，故其面積為24×=6．（3）如圖1，過(guò)A作AK⊥BC于K，在Rt△ACK中，AK=，KC=．∴AC===．（4）如圖3，構(gòu)造EQSR，過(guò)F作FT⊥QG于

7、T，則S△FQG=FT·QG=××4=3．同理可求S△GSH=，S△EHR=6，SEQSR=18．∴S四邊形EFGH=SEQSR-S△FQG-S△GSH-S△EHR=18-3--6=8．四、圖形對(duì)稱型例4如圖，半圓A和半圓B均與y軸相切于點(diǎn)O，其直徑CD、EF均和x軸垂直，以O(shè)為頂點(diǎn)的兩條拋物線分別經(jīng)過(guò)C、E和D、F，則圖中陰影部分的面積是_________．分析由題意知，圖中兩半圓和兩拋物線組成的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，故y軸左側(cè)陰影部分面積等于半圓B中的空白面積，所以所求陰影部分面積為半圓B的面積，即S陰=·12=．-7-解答：