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《.多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、6．2多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分6．2．1偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算1．偏導(dǎo)數(shù)定義對于二元函數(shù)，如果只有自變量x變化,而自變量y固定,這時(shí)它就是x的一元函數(shù),這函數(shù)對x的導(dǎo)數(shù),就稱為二元函數(shù)對于x的偏導(dǎo)數(shù)。定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Dx時(shí),相應(yīng)地函數(shù)有增量如果極限存在,則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù),記作：，，，或。即：.類似地，函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)處對y的偏導(dǎo)數(shù)定義為：,記作：，，，或。偏導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就
2、是x、y的函數(shù),它就稱為函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)函數(shù),記作，，，或。偏導(dǎo)函數(shù)的定義式：.類似地,可定義函數(shù)對y的偏導(dǎo)函數(shù),記為,,，或。偏導(dǎo)函數(shù)的定義式：.2．偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算求時(shí),只要把y暫時(shí)看作常量而對x求導(dǎo)數(shù)；求時(shí),只要把x暫時(shí)看作常量而對y求導(dǎo)數(shù)。討論：下列求偏導(dǎo)數(shù)的方法是否正確？，，，。偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù).例如三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對x的偏導(dǎo)數(shù)定義為,其中(x,y,z)是函數(shù)u=f(x,y,z)的定義域的內(nèi)點(diǎn).它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題.例1求z=x2+3xy+y2在點(diǎn)
3、(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).解,.,.例2求z=x2sin2y的偏導(dǎo)數(shù)。解；。例3設(shè),求證:.證,..例4求的偏導(dǎo)數(shù)。解；。例5已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)),求證:.證因?yàn)?;,;,;所以.例5說明的問題:偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個(gè)整體記號,不能看作分子分母之商。3．偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義一元函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)從幾何上看表示曲線在該點(diǎn)處的切線斜率，那么二元函數(shù)的偏導(dǎo)在幾何上表示什么呢？我們知道，二元函數(shù)在空間中表示一曲面，在處對求偏導(dǎo)時(shí)把看成常量，這時(shí)是關(guān)于的一元函數(shù)，所以表示曲面與平面的交線在處沿軸正向的切線斜率(如圖)．同
4、理，表示曲面在該點(diǎn)處沿軸正向的切線斜率．4．偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性對于多元函數(shù)來說,即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在,也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).例如在點(diǎn)(0,0)有,fx(0,0)=0,fy(0,0)=0,但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù).提示：,;,.當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿x軸趨于點(diǎn)(0,0)時(shí),有;當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿直線y=kx趨于點(diǎn)(0,0)時(shí),有.因此,不存在,故函數(shù)f(x,y)在(0,0)處不連續(xù).6．2．2全微分1．全微分的定義根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系,有偏增量與偏微分：，為函數(shù)對x的偏增量,fx(x,y)Dx為函數(shù)對x的偏
5、微分;，為函數(shù))對y的偏增量，為函數(shù)對y的偏微分。全增量：計(jì)算全增量比較復(fù)雜,我們希望用Dx、Dy的線性函數(shù)來近似代替之.定義如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量可表示為,其中A、B不依賴于Dx、Dy而僅與x、y有關(guān),則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分,而稱ADx+BDy為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作dz,即如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分,那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.2．可微與連續(xù)可微必連續(xù),但偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù).這是因?yàn)?如果z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,則Dz=f(x+Dx
6、,y+Dy)-f(x,y)=ADx+BDy+o(r),于是,從而.因此函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù).3．可微條件定理1(必要條件)如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)、必定存在,且函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分為：。證設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)可微分.于是,對于點(diǎn)P的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)P￠(x+Dx,y+Dy),有Dz=ADx+BDy+o(r).特別當(dāng)Dy=0時(shí)有f(x+Dx,y)-f(x,y)=ADx+o(
7、Dx
8、)上式兩邊各除以Dx，再令Dx?0而取極限
9、，就得,從而偏導(dǎo)數(shù)存在,且.同理可證偏導(dǎo)數(shù)存在,且.所以：.偏導(dǎo)數(shù)、存在是可微分的必要條件,但不是充分條件.例如，函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處雖然有fx(0,0)=0及fy(0,0)=0,但函數(shù)在(0,0)不可微分,即Dz-[fx(0,0)Dx+fy(0,0)Dy]不是較r高階的無窮小.這是因?yàn)楫?dāng)(Dx,Dy)沿直線y=x趨于(0,0)時(shí),.定理2(充分條件)如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)、在點(diǎn)(x,y)連續(xù),則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù).按著習(xí)慣,Dx、Dy分別記作dx、dy,并分別稱為自變
10、量的微分,則函數(shù)z=f(x,y)的全微分可寫作.二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理.疊加原理也適用于二元以上的函數(shù),例如函數(shù)u=f(x,y,z)的全微分為.例1計(jì)算函數(shù)z=x2y+y2的全微分.解因?yàn)?,所以dz=2xydx+(x2+2y)dy.例2
