求函數(shù)極值的若干方法

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1、求函數(shù)極值的若干方法摘要函數(shù)的極值是函數(shù)的很重要性質(zhì)之一，在我們的日常生活中也有著非常廣泛的應(yīng)用.很多的實(shí)際問(wèn)題最終都可以歸結(jié)為求函數(shù)極值的問(wèn)題.本文主要總結(jié)了一元函數(shù)和二元函數(shù)極值的判斷方法和求法，從而使計(jì)算簡(jiǎn)潔，并給出了相關(guān)的一些例子.關(guān)鍵詞：函數(shù)極值充分條件乘數(shù)法1一元函數(shù)極值問(wèn)題1.1一元函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)在的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)的不同于的所有的x都有以下不等式成立，即，那么我們就把稱為函數(shù)的極小值,就是的極小值點(diǎn);反過(guò)來(lái)，如果，那么我們就把稱為的極大值，就是的極大值點(diǎn).無(wú)論是函數(shù)的極小

2、值還是極大值，我們都把它們叫做函數(shù)的極值.極值點(diǎn)有兩類，分別為極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).1.2對(duì)于不同類型的一元函數(shù)極值的求解方法1.2.1二次函數(shù)：在中學(xué)數(shù)學(xué)中我們?cè)v了二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,從所學(xué)的圖象中可以很清楚地分析出：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象拋物線開口向上,它的縱坐標(biāo)由遞減變?yōu)檫f增，從而這個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就相當(dāng)于極小值.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象拋物線開口向下,它的縱坐標(biāo)由遞增變?yōu)檫f減，從而這個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就相當(dāng)于極大值.因此,想要求得二次函數(shù)的極大值或者極小值只需要求得這個(gè)該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可，于是用配方法將寫成如下形式

3、10，則該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.當(dāng)時(shí),該坐標(biāo)值就是極小值.當(dāng)時(shí)，該坐標(biāo)值即為極大值.例1某玩具廠生產(chǎn)某種兒童玩具，年產(chǎn)量為x百件，總成本是(萬(wàn)元)，其總收入為，試求總利潤(rùn)為最大時(shí)最佳產(chǎn)量.解設(shè)為總利潤(rùn)，則為一元二次函數(shù)的形式，則由上可知，，即當(dāng)產(chǎn)量為4百件時(shí)，利潤(rùn)取得極大值5萬(wàn)元，此時(shí)極大值就是最大值.1.2.2一般函數(shù)定理1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處是連續(xù)的，在的某個(gè)鄰域內(nèi)是可求導(dǎo)的.(1)當(dāng)時(shí)，所有的x都滿足；當(dāng)時(shí)，所有的x都滿足，如果上述兩個(gè)條件都成立時(shí)，那么我們得出在處可以取到極小值.(2)當(dāng)時(shí)，所有的x都滿足，而當(dāng)

4、時(shí)，所有的x都滿足，如果上述兩個(gè)條件也都成立時(shí)，那么我們就可以得出在處可以取到極大值.(3)當(dāng)時(shí)，的符號(hào)一直不會(huì)改變，即所有的都滿足或所有的都滿足，那么在這種情況下，我們可以得出在點(diǎn)不能取到極值.定理2：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處存在二階的導(dǎo)數(shù)，如果滿足=0且，那么可以取到極值.10(1)當(dāng)時(shí)，則我們可以在點(diǎn)取到極小值，就叫做的極小值點(diǎn).(2)當(dāng)時(shí)，就叫做的極大值點(diǎn)，在點(diǎn)可以取到極大值.應(yīng)該值得注意的是：如果出現(xiàn)=0且的情形，那么這個(gè)時(shí)候如果我們還想著用上述定理2的方法去尋找極值就不滿足了，以下的定理可以幫助我們解決.定理3：

5、設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)存在著直到階的導(dǎo)函數(shù)，在點(diǎn)處階是可以求導(dǎo)的，并且成立（1，2，…，），，那么,(1)當(dāng)為偶數(shù)的時(shí)候，在點(diǎn)處可以取到極值，并且如果我們可以在點(diǎn)處取到極小值，如果時(shí)，極大值在點(diǎn)取到.(2)當(dāng)為奇數(shù)的時(shí)侯，在這種情況下在點(diǎn)處的極值我們是取不到的.例2：對(duì)于上述事例1，也可用微分法求得極值.解，令，那么,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,根據(jù)定理1，我們得出,在的時(shí)候可以取到極大值,這個(gè)時(shí)候的極大值其實(shí)也就是我們所要求得的最大值.例3：求函數(shù)的極值.解對(duì)原函數(shù)求一階導(dǎo)得，，令，得到駐點(diǎn)，，如果用定理1，我們無(wú)法判別，繼

6、續(xù)求導(dǎo),有，,10這時(shí)發(fā)現(xiàn)定理2條件也不滿足，再進(jìn)行求導(dǎo),有，，繼續(xù)求導(dǎo)，得，,.由定理3，知：，導(dǎo)數(shù)第一個(gè)不是零的階數(shù)，它是偶數(shù)的，因此這個(gè)函數(shù)我們是可以取到極值的，而且可以進(jìn)一步斷定是極小值.例4：設(shè)是方程的一個(gè)解而且，，那么這個(gè)函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)處（）.A．可以取到極大值B．某鄰域內(nèi)是呈現(xiàn)單調(diào)遞減的C.可以取到極小值D．某鄰域內(nèi)是呈現(xiàn)單調(diào)遞增的分析這是一道考研題目，乍一看是關(guān)于微分方程方面的問(wèn)題，假如從微分方程方面著手，那么就會(huì)容易走入誤區(qū)，我們觀察一下四個(gè)選項(xiàng)可以知道是關(guān)于極值問(wèn)題的.由于，所以，又，，所以.根據(jù)

7、定理2我們就可以得出在點(diǎn)處取到了極大值。這個(gè)題目巧妙地根據(jù)已知信息變形，然后運(yùn)用了定理2，從而得到答案，故選(A).總結(jié)：求一元函數(shù)（一般）的步驟：a首先我們把所要討論的函數(shù)的定義域給求出來(lái)b求出導(dǎo)數(shù)（當(dāng)使用極值第一充分條件即定理1進(jìn)行判斷）和（當(dāng)使用極值第一充分條件即定理2進(jìn)行判斷）.c我們令，，求出函數(shù)和的所有的穩(wěn)定點(diǎn)，還有的所有不可導(dǎo)點(diǎn)，因?yàn)榇颂幨怯锌赡艹蔀闃O值點(diǎn)的.10d當(dāng)我們采用定理1的方法判定時(shí)，要判斷出所有的穩(wěn)定點(diǎn)左右鄰域的符號(hào)；當(dāng)我們采用定理2判定時(shí)，則要確定出在其穩(wěn)定點(diǎn)兩邊的符號(hào)，然后再對(duì)照對(duì)照

8、點(diǎn)點(diǎn)（