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1、附件：分類號O15商洛學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文矩陣的可對角化及其應(yīng)用作者單位數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系指導(dǎo)老師劉曉民作者姓名陳畢專業(yè)﹑班級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)07級1班提交時間二0一一年五月矩陣的可對角化及其應(yīng)用陳畢（數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系2007級1班）指導(dǎo)老師劉曉民摘要：矩陣可對角化問題是矩陣?yán)碚撝械囊粋€重要問題，可對角化矩陣作為一類特殊的矩陣，在理論上和應(yīng)用上有著十分重要的意義。本文對可對角化矩陣做出了全面的概括和分析，并利用高等代數(shù)和線性代數(shù)的有關(guān)理論給出了矩陣可對角化的若干條件，同時也討論了化矩陣為對角形的求解方法
2、，最后總結(jié)出可對角化矩陣在求方陣的高次冪﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩陣﹑判斷矩陣是否相似﹑向量空間﹑線性變換等方面的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：對角化；特征值；特征向量；相似；線性變換MatrixdiagonolizationanditsapplicationChenBi(Class1,Grade2007,TheDepartofMathandCalculationScience)Advisor:LecturerLiuXiaoMinAbstract:Matrixdiagonolizationp
3、roblemisanimportantprobleminmatrixtheorydiagonolizationmatrix,asakindofspecialmatrix,intheoryandapplicationhastheextremelyvitalsignificance.Thispaperhasmadediagonolizationmatrixanalysisandgeneralization,andusinghigheralgebraandlinearalgebraaregiventher
4、elevanttheoryofmatrixseveralconditionsdiagonolization,alsodiscussedthematrixofthediagonalshapeofsolvingmethod,andfinallysummarized;diagonolizationmatrixinhighpower,thepolicyofusingeigenvaluebegdeterminantbycharacteristicvalueandvalue,featurevectorrever
5、sematrix,judgmentmatrixissimilar,vectorSpaces,theapplicationoflineartransformation,etc.Keywords:Thediagonalization;Eigenvalue;Featurevector;Similar;Lineartransformation引言所謂矩陣可對角化指的是矩陣與對角陣相似，而說線性變換是可對角化的指的是這個線性變換在某一組基下是對角陣（或者說線性變換在一組基下的矩陣是可對角化的），同樣可以把問題
6、歸到矩陣是否可對角化。本文主要是討論矩陣可對角化的判定條件以及如何應(yīng)用可對角化的相關(guān)性質(zhì)將矩陣化為對角形，同時也總結(jié)了它在相關(guān)方面的運(yùn)用。預(yù)備知識：定義1：如下形式的n×n矩陣=稱為對角矩陣簡記為=diag(,,,)定義2：把矩陣A（或線性變換）的每個次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的首項為1的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算）稱為矩陣A（或線性變換）的初等因子。定義3：設(shè)A是數(shù)域P上的n級矩陣，如果數(shù)域P上的多項式f(x)使得f(x)=0，則稱f(x)以A為根
7、，在以A為根的多項式中，次數(shù)最低且首項系數(shù)為1的多項式稱為A的最小多項式。定義4：設(shè)V是P上的線性空間，是V上的一個變換，如果對任意V和P都有，則稱為V的一個線性變換定義5：設(shè)是數(shù)域P上線性空間V的一個線性變換，如果存在P中的一個數(shù)和V中非零元素使得，則稱為的一個特征值，而稱為的屬于特征值的一個特征向量，由的屬于特征值的全部特征向量再添上零元素構(gòu)成的集合構(gòu)成V的一個子空間，稱為的一個特征子空間。定義6:設(shè)A,B為數(shù)域P上的兩個n級矩陣，如果存在數(shù)域P上的n級可逆矩陣X使得B=AX，則稱A相似于B，記
8、為AB，并稱由A變到B得變換為相似變換，稱X為相似變換矩陣。主要結(jié)論：1.1A可對角化當(dāng)且僅當(dāng)A有n個線性無關(guān)的特征向量。證明：必要性設(shè)在基下具有對角矩陣，這就是說，因此就是的n個線性無關(guān)的特征向量。反過來，如果有n個線性無關(guān)的特征向量，那么就取為基，顯然在這組基下的矩陣是對角矩陣。推論1.1.1如果在n維線性空間V中，線性變換的特征多項式在數(shù)域P中有n個不同的根，即有n個不同的特征值，那么在某組基下的矩陣是對角形的。推論1.1.2在復(fù)數(shù)域上的線性空間中，如果線性變換
