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《高次剩余理論及二項同余方程求解的研究初探》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、高次剩余理論及二項同余方程求解的研究初探華東師范的學(xué)第二附屬中學(xué)景琰杰指導(dǎo)老師施洪亮摘要本文討論了有關(guān)最簡單的二項同余方程的解的一些問題,主要有三個方面：首先討論了關(guān)于推廣的Legendre符號的一些基本性質(zhì),為后面的研究提供一些幫助；然后討論了最基本的,關(guān)于二項同余方程的可解性和解的個數(shù)；在知道一個二項同余有解時,如何去解這個二項同余方程是第三個問題.在論文里還討論了其他一些性質(zhì).所用到的證明方法基本上是初等的,主要是二次互反律之前的初等數(shù)論知識,沒有用到更高等的代數(shù)方法.所得到的結(jié)果基本上是類比于低維情形的
2、一個推廣,是有關(guān)上述三個方面的問題的一些結(jié)論.其中第二個問題基本上得出了完整的結(jié)論,與低維的情形很類似.第一個問題討論了部分性質(zhì),這些性質(zhì)都是為后文的研究提供幫助的.而第三個問題得出了大部分結(jié)果,有些二項同余方程的求解是十分困難的,尚沒有給出很好的解法.關(guān)鍵詞:高次剩余二項同余方程的求解引言二次剩余的概念來源于求解二次同余方程.一般模的二次同余方程都可以轉(zhuǎn)化為最基本的二項形式.關(guān)于這個方程的可解性,Euler曾經(jīng)給出以他名字命名的判別法.Legendre為了研究方便,引入了符號.于是問題便轉(zhuǎn)化為計算Legend
3、re符號的值.早在Euler的一篇論文中就曾經(jīng)提出過一個猜想,Legendre和Gauss都意識到如果這個猜想對解決Legendre符號的計算問題的重要意義.這個猜想最終被Gauss完整地證明,即是著名的二次互反律.至此,二次Legendre符號的計算便得到解決.但是關(guān)于高次同余方程的求解,甚至是最基本的二項方程,在初等數(shù)論里也是很困難的一個問題.本文正是基于這一問題,利用同余式的一些理論,研究了關(guān)于二項方程的解的一些基本性質(zhì)以及相關(guān)的問題.定義當(dāng)時,假如有解,則稱為的次剩余,否則稱為的次非剩余.為方便計,引入
4、符號.當(dāng)時,表示是的次剩余;當(dāng)時,表示是的次非剩余.當(dāng)時,可以定義.這種情形是平凡的,不在這篇論文的討論范圍之內(nèi).當(dāng)時即為熟悉的平方剩余,此時可略去不寫,簡記為.正文因為當(dāng)為合數(shù)時,等價于一組模為質(zhì)數(shù)冪的的同余方程組.而關(guān)于模為質(zhì)數(shù)冪的同余方程的可解性又可化為模為相應(yīng)的質(zhì)數(shù)的情形.故這里先假定為質(zhì)數(shù).又因為當(dāng)時結(jié)論是平凡的（此時恒有）.故又假定為奇質(zhì)數(shù).在這篇論文里還假定.1.符號的性質(zhì)先來討論一下符號的一些性質(zhì),以方便后文的討論.顯然有,,并且當(dāng)時,有.容易推廣以下的Euler判別法:定理1當(dāng)時,則（1）,（
5、2）.證明:當(dāng)時,如果有解為,則,即;反之,當(dāng)時,.而有個解,至多只有個解.故一定有解.并且易知此時有個解.當(dāng)時,當(dāng)時,,所以；反之,當(dāng)時,易知,故.在二次剩余中有,這在高次剩余中不一定成立,接下來即要討論一些相關(guān)的結(jié)論:定理2對于,當(dāng)不全等于時,有.證明:當(dāng),時,設(shè)的解為,的解為,則,即也有解,即.此時成立.當(dāng)時,設(shè)的解為,假如有解,設(shè)解為,即.記為的解.則,即.由可知.由于無解,故無解,即無解,因而無解,這不可能.故無解,即.此時成立.當(dāng)時,和均有可能成立.此時不能判斷的值,因而不一定成立.2的可解性2.1
6、當(dāng)為奇質(zhì)數(shù)時當(dāng)為奇質(zhì)數(shù)時,由于.即的完全剩余系的前半部分與后半部分的次剩余一一對應(yīng)互為相反數(shù).因此在討論時,只需要考慮的完全剩余系的前半部分的次剩余.2.1.1當(dāng)=3時有以下結(jié)論定理3當(dāng)時,恒成立,當(dāng)時,在的完全剩余系中只有個使.證明:當(dāng)時,由Euler判別法可知,對每個,都有個解,而對不同的,解不會相同.因此在的完全剩余系中只有個使.當(dāng)時,有.則有一組解,不妨設(shè)為,則.即恒有解.綜上,定理成立.當(dāng)時候還有以下一些結(jié)論:推論1如果滿足,,且,,,則有.證明:由上述條件易知,,即為滿足的兩個不同解.而由可知.故也
7、滿足方程.而又由于只有兩個解,均不可能,故.推論2如果滿足,且,則,.證明:當(dāng)滿足且時,滿足,故又,即.證畢.推論3如果滿足,,且,,,,則,.證明:由推論1得,.如果,則由推論2,,由于,故且,這與只有解,且矛盾,故必有,故,故.2.1.2當(dāng)為大于等于5的奇質(zhì)數(shù)時可以得出類似的結(jié)論:定理4當(dāng)時,恒成立;當(dāng)時,在的完全剩余系中只有個使.證明:當(dāng)時,由Euler判別法可知,對每個,都有個解,而對不同的,解不會相同.因此在的完全剩余系中只有個使.當(dāng)時,有.則有一組解,不妨設(shè)為,則.即恒有解.綜上,定理成立.對于2.
8、1.1中的推論也可以進行推廣:推論4如果()滿足()且.對于(),有.則對于(),(),使得.證明:由上述條件易知即為滿足的個不同的解.而由可知對于,有,故()也滿足.而又由于只有個解,對,及對,均不可能,故有().證畢.推論5如果()滿足()且.對于(),有.則有,,…,,.證明:由上述條件易知即為滿足的個不同的解.故…,故,,…,,.2.2當(dāng)為時當(dāng)為時,由于,即的完全剩余系的前半部
