周衍柏《理論力學(xué)》第五章教案-分析力學(xué)

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1、第五章分析力學(xué)本章要求（1）掌握分析力學(xué)中的一些基本概念；（2）掌握虛功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密頓正則方程。第一節(jié)約束和廣義坐標(biāo)一、約束的概念和分類(lèi)加于力學(xué)體系的限制條件叫約束。按不同的標(biāo)準(zhǔn)有不同的分類(lèi)：按約束是否與時(shí)間有關(guān)分類(lèi)：穩(wěn)定約束、不穩(wěn)定約束；按質(zhì)點(diǎn)能否脫離約束分類(lèi)：可解約束、不可解約束；按約束限制范圍分類(lèi)：幾何約束（完整約束）、運(yùn)動(dòng)約束（不完整約束）。本章只討論幾何約束（完整約束），這種約束下的體系叫完整體系。二、廣義坐標(biāo)1、自由度描述一個(gè)力學(xué)體系所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù)叫體系的

2、自由度。設(shè)體系有n個(gè)粒子，一個(gè)粒子需要3個(gè)坐標(biāo)（如x、y、z）描述，而體系受有K個(gè)約束條件，則體系的自由度為（3n-K）2、廣義坐標(biāo)描述力學(xué)體系的獨(dú)立坐標(biāo)叫廣義坐標(biāo)。例如：作圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)只須角度用θ描述，廣義坐標(biāo)為θ，自由度為1，球面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，由極角θ和描述，自由度為2。第二節(jié)虛功原理本節(jié)重點(diǎn)要求：①掌握虛位移、虛功、理想約束等概念；②掌握虛功原理。一、實(shí)位移與虛位移質(zhì)點(diǎn)由于運(yùn)動(dòng)實(shí)際上所發(fā)生的位移叫實(shí)位移；在某一時(shí)刻，在約束允許的情況下，質(zhì)點(diǎn)可能發(fā)生的位移叫虛位移。如果約束為固定約束，則實(shí)位移是虛位移

3、中一的個(gè)；若約束不固定，實(shí)位移與虛位移無(wú)共同之處。例如圖5.2.1中的質(zhì)點(diǎn)在曲面上運(yùn)動(dòng)，而曲面也在移動(dòng)，顯然實(shí)位移與虛位移不一致。二、理想約束設(shè)質(zhì)點(diǎn)系受主動(dòng)力和約束力的作用，它們?cè)谌我馓撐灰浦凶鞯墓刑摴?。若約束反力在任意虛位移中對(duì)質(zhì)點(diǎn)系所作虛功之和為零，則這種約束叫理想約束。光滑面、光滑線(xiàn)、剛性桿、不可伸長(zhǎng)的繩等都是理想約束。三、虛功原理1、文字?jǐn)⑹龊蛿?shù)學(xué)表示：受理想約束的力學(xué)體系，平衡的充要條件是：作用于力學(xué)體系的諸主動(dòng)力在任意虛位移中作的元功之和為零。即（1）適用條件：慣性系、理想不可解約束。2、?推

4、論設(shè)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為q1，……，qa，……，qS，虛位移可寫(xiě)為用廣義坐標(biāo)變分表示的形式：定義：稱(chēng)為相應(yīng)于廣義坐標(biāo)qa的廣義力，則虛功原理表述為：理想約束的力學(xué)體系平衡的充要條件為質(zhì)點(diǎn)系受的廣義力為零，即：（2）3、用虛功原理求解平衡問(wèn)題的方法步驟一般步驟為：（1）確定自由度，選取坐標(biāo)系，分析力（包括主動(dòng)力、約束力）；（2）選取廣義坐標(biāo)并將各質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)表示成廣義坐標(biāo)qa的函數(shù)：；（3）求主動(dòng)力的虛功并令其為零：，由此求出平衡條件。[例]見(jiàn)書(shū)P276[例1]第三節(jié)拉格朗日方程本節(jié)重點(diǎn)要求：（1）掌握拉格朗日方程的

5、兩種形式，方程的特點(diǎn)和適用條件等；（2）掌握用拉格朗日方程求解具體問(wèn)題的步驟；（3）了解循環(huán)積分等概念。一、基本形式的拉格朗日方程1、方程的推導(dǎo)由牛頓第二定律并應(yīng)用理想約束的條件，可以得到達(dá)朗伯——拉格朗日方程：(1)將坐標(biāo)的變分改成用廣義坐標(biāo)q1，……，qS的變分表示，即：經(jīng)數(shù)學(xué)運(yùn)算，令（稱(chēng)為體系的動(dòng)能），（稱(chēng)為相應(yīng)于qa的廣義力），則（1）式變?yōu)椋海?）這就是基本形式的拉格朗日方程，應(yīng)注意：（2）實(shí)際是一組方程。2、方程的適用條件：理想約束。二、保守系的拉格朗日方程設(shè)作用于體系的力全為保守力，則廣義力可

6、由（V為勢(shì)能）求得：在普遍形式的拉氏方程（2）中，由于V不包含廣義速度，可令：（動(dòng)能與勢(shì)能的差）為拉格朗日函數(shù)，則（2）式變?yōu)椋海?）應(yīng)指出（3）的適用條件為保守系，理想約束，且（3）應(yīng)用很普遍。三、應(yīng)用拉格朗日方程求解問(wèn)題的步驟，例一般步驟：①畫(huà)草圖，確定自由度s和廣義坐標(biāo)qa；②分析主動(dòng)力，若為保守系，則求出勢(shì)能V；若為非保守力，則計(jì)算廣義力Qa；③求動(dòng)能T=T（）；④對(duì)保守系，求出L=T-V，進(jìn)而代入方程（3），寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程；⑤對(duì)非保守系，將T和廣義力Qα代入方程（2），寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程。⑥解方程，求出q

7、α（t）。[例1]P2654.10題圓環(huán)在光滑圓圈上運(yùn)動(dòng)，而圓圈繞垂直圓面的軸作勻角速運(yùn)動(dòng)，求圓環(huán)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：方法一：牛頓力學(xué)方法（已在第四章第三節(jié)作為舉例計(jì)算）方法二：用拉格朗日方程求解。這是光滑圓圈且受的力只有重力和約束力，屬于保守體系，可采用保守系的拉氏方程求解。質(zhì)點(diǎn)自由度為1，轉(zhuǎn)角θ為廣義坐標(biāo)，廣義速度為。任一角度θ時(shí)圓環(huán)（視為質(zhì)點(diǎn)）的動(dòng)能，其中絕對(duì)速度v可由速度合成公式求出：這里（方向沿切線(xiàn)方向），牽連速度，大小為，方向垂直于op。由速度合成公式得到：動(dòng)能：取圓平面為零勢(shì)能位置，則V=0，從而L

8、=T-V=T-0=T代入拉氏方程（2）中：，得到四、循環(huán)積分。若拉氏函數(shù)L中某一坐標(biāo)qi不出現(xiàn)，則該坐標(biāo)qi叫循環(huán)坐標(biāo)，則（常數(shù)），叫循環(huán)積分。第五節(jié)哈密頓正則方程本節(jié)不作重點(diǎn)要求?；疽笫牵毫私庹齽t坐標(biāo)、正則動(dòng)量的概念和正則方程及其應(yīng)用。一、哈密頓函數(shù)設(shè)力學(xué)體系的廣義坐標(biāo)為，廣義速度為，則拉格朗日函數(shù),定義廣義動(dòng)量，則函數(shù)叫哈密頓函數(shù)。它是廣義坐標(biāo)、廣義動(dòng)量的函數(shù)，而廣義坐標(biāo)、廣義動(dòng)量稱(chēng)為正則變量。特例：對(duì)保