斯坦納—萊默斯定理的推廣與猜想

《斯坦納—萊默斯定理的推廣與猜想》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、斯坦納—萊默斯定理的推廣與猜想定理：有兩條內(nèi)角平分線相等的三角形是等腰三角形.這個(gè)問(wèn)題是1840年萊默斯（C.L.Lehmus）在給圖姆（C.Sturm）的一封信中提出的，他請(qǐng)求給出一個(gè)純幾何學(xué)的證明.首先回答這個(gè)問(wèn)題的是瑞士的大幾何學(xué)家斯坦納（J.Steiner），后來(lái)，該定理就以斯坦納—萊默斯定理著名于世.論述它的文章發(fā)表于1842，1844，1848及1854到1864年的幾乎每一年的多種雜志上.由上述定理，我們可以得到兩個(gè)極妙的推論.推論1.設(shè)BD、CE為△ABC的∠B與∠C的內(nèi)角平分線，如果BD>CE，則AB>AC

2、.證明：（反證法）D（ⅰ）假設(shè)AB=AC，則BD=CE,與已知矛盾.CBEA（ⅱ）假設(shè)ABBD，與已知條件矛盾，4故AB>AC.推論2：設(shè)BD、CE為△ABC的∠B與∠C的內(nèi)角平分線，如果=，則AB=AC.證明：略.由上述定理及其推論，可以得到豐富多彩的下列諸命題：*推廣1：如圖2，設(shè)L為經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且平行于△ABC的邊AB的直線，∠A的內(nèi)角平分線交邊BC于D，交L于E；∠B

3、的內(nèi)角平分線交邊AC于F，交L于G,如果GF=DE,則AC=BC。證明：設(shè)AC=b,BC=a,AB=c.LFGEC易知：,bcaDBA.于是，故由推論2知AC=BC.圖2*推廣2：如圖3,設(shè)L是平行于△ABC的邊AB的任一直線，L交BC、AC于M、N,∠A的內(nèi)角平分線交邊BC于D，交L于E；∠B的內(nèi)角平分線交邊AC于F，交L于G,如果GF=DE,則AC=BC.證明略.CMEGNDF4BA圖3*推廣3：如圖4，設(shè)D、E分別為△ABC的邊AC、AB上的一點(diǎn)，且,BD=CE,則AB=AC.ADFECB圖4*推廣4:如圖4設(shè)D、E分

4、別為△ABC的邊AC、AB上的一點(diǎn)，且,,則AB=AC.觀察上述推廣，不難得到下列諸命題：*猜想1：設(shè)D、E分別為△ABC的邊AC、AB上的一點(diǎn)，且，直線L是經(jīng)過(guò)A點(diǎn)且平行于BC的直線，BD、CE的延長(zhǎng)線交L于M、N.如果DM=EN,則AB=AC.*猜想2：設(shè)D、E分別為△ABC的邊AC、AB上的一點(diǎn)，且，L∥BC,l交BD、CE（或其延長(zhǎng)線）于M、N，如果DM=EN,則AB=AC.*猜想3：設(shè)D、E分別為△ABC的邊AC、AB上的一點(diǎn)，且4,直線L是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且平行于BC的直線.BD、CE的延長(zhǎng)線交L于M、N，如果.則AB

5、=AC.*猜想4：設(shè)D、E分別為△ABC的邊AC、AB上的一點(diǎn)，且，L∥BC,交DB、CE（或其延長(zhǎng)線）于M、N.如果有.則AB=AC.關(guān)于上述命題的證明從略，有興趣的讀者可以自己去鉆研.參考文獻(xiàn)1.梁紹鴻編、趙茲庚校.初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）.人民教育出版社，19792.朱德祥.初等幾何研究.高等教育出版社，1991發(fā)表于《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》（蘭州）2002年第1期4