2012年考研數(shù)學(xué)春季基礎(chǔ)班線性代數(shù)講義(湯家鳳)

《2012年考研數(shù)學(xué)春季基礎(chǔ)班線性代數(shù)講義(湯家鳳)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、課程配套講義說(shuō)明1、課程名稱2012年考研數(shù)學(xué)春季基礎(chǔ)班線性代數(shù)2、課程內(nèi)容此課程講授線性代數(shù)基礎(chǔ)階段內(nèi)容，通過(guò)梳理知識(shí)，使學(xué)員掌握整體知識(shí)脈絡(luò)，掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，了解考試重難點(diǎn)。3、主講師資湯家鳳——主講高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)。著名考研輔導(dǎo)專家，南京大學(xué)博士，南京工業(yè)大學(xué)教授，江蘇省大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師。憑借多年從事考研閱卷工作的經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)自己的歸納總結(jié)，在課堂上為學(xué)生列舉大量以往考過(guò)的經(jīng)典例子。深入淺出，融會(huì)貫通，讓學(xué)生真正掌握正確的解題方法。4、講義：18頁(yè)（電子版）文都網(wǎng)校2011年3月28日19第一講行列式一、基本概念定義1逆序—設(shè)是一對(duì)

2、不等的正整數(shù)，若，則稱為一對(duì)逆序。定義2逆序數(shù)—設(shè)是的一個(gè)排列，該排列所含的逆序總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)，記為，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。定義3行列式—由個(gè)數(shù)組成的下列記號(hào)稱為階行列式，規(guī)定。定義4余子式與代數(shù)余子式—把行列式中元素所在的行元素和列元素去掉，剩下的行和列元素按照元素原來(lái)的排列次序構(gòu)成的階行列式，稱為元素的余子式，記為，稱為元素的代數(shù)余子式。二、幾個(gè)特殊的高階行列式1、對(duì)角行列式—形如，稱為對(duì)角行列式，對(duì)角行列式等于其對(duì)角線上元素之積。2、上（下）三角行列式—稱及為上三角行列式和下三角行列式，它們都等于

3、主對(duì)角線上的元素之積。3、范得蒙行列式—形如19稱為階范得蒙行列式，且。三、行列式的性質(zhì)（一）把行列式轉(zhuǎn)化為特殊行列式的性質(zhì)1、行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等，即。2、對(duì)調(diào)兩行（或列）行列式改變符號(hào)。3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推論：（1）行列式某行（或列）元素全為零，則該行列式為零。（2）行列式某兩行（或列）相同，行列式為零。（3）行列式某兩行（或列）元素對(duì)應(yīng)成比例，行列式為零。4、行列式的某行（或列）的每個(gè)元素皆為兩數(shù)之和時(shí)，行列式可分解為兩個(gè)行列式，即。5、行列式的某行（或列）的倍數(shù)加到另一行（或列），行列式不變，即，其中

4、為任意常數(shù)。（二）行列式降階的性質(zhì)6、行列式等于行列式某行（或列）元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式之積的和，即，。7、行列式的某行（或列）元素與另一行（或列）元素的代數(shù)余子式之積的和為零。四、行列式的應(yīng)用—克萊姆法則19對(duì)方程組（）及（）其中稱為非齊方程組，稱為對(duì)應(yīng)的齊次方程組或的導(dǎo)出方程組。令，其中稱為系數(shù)行列式，我們有定理1只有零解的充分必要條件是；有非零解（或者有無(wú)窮多個(gè)解）的充分必要條件是。定理2有唯一解的充分必要條件是，且；當(dāng)時(shí)，要么無(wú)解，要么有無(wú)窮多個(gè)解。例題部分1、計(jì)算行列式（答案：）2、設(shè)，求（1）；（2）。3、設(shè)為4維列向量,且，，求。1

5、94、計(jì)算，其中。第二講矩陣一、基本概念及其運(yùn)算1、矩陣—形如稱為行列的矩陣，記為，行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣稱為方陣，元素全為零的矩陣稱為零矩陣。（1）若矩陣中所有元素都為零，該矩陣稱為零矩陣，記為。（2）對(duì)，若，稱為階方陣。（3）稱為單位矩陣。（4）同型矩陣及矩陣相等—若兩個(gè)矩陣行數(shù)與列數(shù)相同，稱兩個(gè)矩陣為同型矩陣，若兩個(gè)矩陣為同型矩陣，且對(duì)應(yīng)元素相同，稱兩個(gè)矩陣相等。2、對(duì)稱矩陣—設(shè)，若，稱為對(duì)稱矩陣。4、轉(zhuǎn)置矩陣—設(shè)，記，稱為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。5、伴隨矩陣—設(shè)為矩陣，將矩陣中的第行和列去掉，余下的元素按照原來(lái)的元素排列次序構(gòu)成的階行列式，稱為元素的

6、余子式，記為，同時(shí)稱為元素的代數(shù)余子式，這樣矩陣中的每一個(gè)元素都有自己的代數(shù)余子式，記，稱為矩陣的伴隨矩陣。196、矩陣的四則運(yùn)算（1）矩陣加減法—設(shè)，，則。（2）矩陣乘法1）數(shù)與矩陣的乘法—設(shè)，則。2）矩陣與矩陣的乘法：設(shè)，，則，其中（）。[注解]（1）推不出，如，。（2）。（3）矩陣多項(xiàng)式可進(jìn)行因式分解的充分必要條件是矩陣乘法可交換。若，則，再如。（4）方程組的三種形式形式一：方程組的基本形式19（）與（），（）（）分別稱為齊次與非齊線性方程組。記則方程組（）、（）可改寫為形式二：方程組的矩陣形式，（），（）令，則有形式三：方程組的向量形式（）

7、（）二、矩陣的逆陣（一）逆陣問(wèn)題的產(chǎn)生對(duì)一元一次方程，其解有如下幾種情況：（1）當(dāng)時(shí)，兩邊乘以得。（2）當(dāng)時(shí)，方程的解為一切實(shí)數(shù)。（3）當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解。設(shè)為階矩陣，對(duì)方程組，若存在階矩陣，使得，則在方程組兩邊左乘，得，于是。（二）逆矩陣的定義設(shè)為階矩陣，若存在，使得，稱可逆，稱為的逆矩陣，記為。（三）兩個(gè)問(wèn)題問(wèn)題1設(shè)為階矩陣，何時(shí)可逆？問(wèn)題2若可逆，如何求？（四）逆陣存在的充分必要條件19定理設(shè)為階矩陣，則矩陣可逆的充分必要條件是。（五）逆陣的求法（1）方法一：伴隨矩陣法。（2）初等變換法。（六）初等變換法求逆陣的思想體系第一步，方程組的三種同解變

8、形（1）對(duì)調(diào)兩個(gè)方程；（2）某個(gè)方程兩邊同乘以非零常數(shù)；（3）某個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程，以上三種變形稱為方程組的三種同