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《深度探討透視投影坐標(biāo)系》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、3d圖形程序，就一定會(huì)做坐標(biāo)變換。而談到坐標(biāo)變換，就不得不提起投影變換，因?yàn)樗撬凶儞Q中最不容易弄懂的。但有趣的是，各種關(guān)于透視變換的文檔卻依然是簡(jiǎn)之又簡(jiǎn)，甚至還有前后矛盾的地方。看來如此這般光景，想要弄清楚它，非得自己動(dòng)手不可了。所以在下面的文章里，作者嘗試推導(dǎo)一遍這個(gè)難纏的透視變換，然后把它套用到DX和PS2lib的實(shí)例中去。1.一般概念所謂透視投影變換，就是view空間到project空間的帶透視性質(zhì)的坐標(biāo)變換步驟（這兩個(gè)空間的定義可以參考其他文檔和書籍）。我們首先來考慮它應(yīng)該具有那些變換性質(zhì)。很顯然，
2、它至少要保證我們?cè)趘iew空間中所有處于可視范圍內(nèi)的點(diǎn)通過變換之后，統(tǒng)統(tǒng)落在project空間的可視區(qū)域內(nèi)。好極了，我們就從這里著手——先來看看兩個(gè)空間的可視區(qū)域。由于是透視變換，view空間中的可見范圍既是常說的視平截體（viewfrustum）。如圖，（圖1）它就是由前后兩個(gè)截面截成的這個(gè)棱臺(tái)。從view空間的x正半軸看過去是下圖這個(gè)樣子。（圖2）接下來是project空間的可視范圍。這個(gè)空間應(yīng)當(dāng)是處于你所見到的屏幕上。實(shí)際上將屏幕表面視作project空間的xoy平面，再加一條垂直屏幕向里（或向外）的z軸
3、（這取決于你的坐標(biāo)系是左手系還是右手系），這樣就構(gòu)成了我們想要的坐標(biāo)系。好了，現(xiàn)在我們可以用視口（viewport）的大小來描述這個(gè)可視范圍了。比如說全屏幕640*480的分辨率，原點(diǎn)在屏幕中心，那我們得到的可視區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)長(zhǎng)方體，它如下圖（a）所示。（圖3）但是，這樣會(huì)帶來一些設(shè)備相關(guān)性而分散我們的注意力，所以不妨先向DirectX文檔學(xué)學(xué)，將project空間的可視范圍定義為x∈[-1,1],y∈[-1,1],z∈[0,1]的一個(gè)立方體(上圖b)。這實(shí)際上可看作一個(gè)中間坐標(biāo)系，從這個(gè)坐標(biāo)系到上面我們由視口得出
4、的坐標(biāo)系，只需要對(duì)三個(gè)軸向做一些放縮和平移操作即可。另外，這個(gè)project坐標(biāo)系對(duì)clip操作來說，也是比較方便的。2.推導(dǎo)過程先從project空間的x正半軸看看我們的變換目標(biāo)。（圖4）這個(gè)區(qū)域的上下邊界為y’=±1,而圖2中的上下邊界為y=±z*tan(fov/2)，要實(shí)現(xiàn)圖2到圖4的變換，我們有y’=y*cot(fov/2)/z。這下完了，這是一個(gè)非線性變換，怎么用矩陣計(jì)算來完成呢？還好我們有w這個(gè)分量。注意到我們?cè)谧鐾队白儞Q之前所進(jìn)行的兩次坐標(biāo)變換——world變換和view變換，他們只是一系列旋轉(zhuǎn)平
5、移和縮放變換的疊加。仔細(xì)觀察這些變換矩陣，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它們其實(shí)不會(huì)影響向量的w分量。換句話說，只要不是故意，一個(gè)w分量等于1的向量，再來到投影變換之前他的w分量仍舊等于1。好的，接下來我們讓w’=w*z,新的w就記錄下了view空間中的z值。同時(shí)在y分量上我們退而求其次，只要做到y(tǒng)’=y*cot(fov/2)。那么，在做完線性變換之后，我們?cè)儆孟蛄康膟除以w，就得到了我們想要的最終的y值。x分量的變換可以如法炮制，只是fov要換一換。事實(shí)上，很多用以生成投影變換矩陣的函數(shù)都使用了aspect這個(gè)參數(shù)。這個(gè)參數(shù)給出了
6、視平截體截面的縱橫比(這個(gè)比值應(yīng)與viewport的縱橫比相等，否則變換結(jié)果會(huì)失真)。如果我們按照慣例，定義aspect=sizeofX/sizeofY。那么我們就可以繼續(xù)使用同一個(gè)fov而給出x分量的變換規(guī)則：x’=x*cot(fov/2)/aspect?，F(xiàn)在只剩下z分量了。我們所渴望的變換應(yīng)將z=Znear變換到z=0，將z=Zfar變換到z=1。這個(gè)很簡(jiǎn)單，但是等等，x,y最后還要除以w，你z怎能例外。既然也要除，那么z=Zfar就不能映射到z=1了。唔，先映射到z=Zfar試試。于是，有z’=Zfar*
7、(z-Znear)/(Zfar–Znear)。接下來，看看z’/z的性質(zhì)。令f(z)=z’/z=Zfar*(z-Znear)/（z*(Zfar–Znear)）。則f’(z)=Zfar*Znear/(z^2*(Zfar–Znear)),顯而易見f’(z)>0。所以除了z=0是一個(gè)奇點(diǎn)，函數(shù)f(z)是一個(gè)單調(diào)增的函數(shù)。因此，當(dāng)Znear≤z≤Zfar時(shí)，f(Znear)≤f(z)≤f(Zfar),即0≤f(z)≤1。至此，我們可以給出投影變換的表達(dá)式了。x’=x*cot(fov/2)/aspecty’=y*cot(
8、fov/2)z’=z*Zfar/(Zfar–Znear)–Zfar*Znear/(Zfar–Znear)w’=z以矩陣表示，則得到變換矩陣如下，cot(fov/2)/aspect0000cot(fov/2)0000Zfar/(Zfar-Znear)100-Zfar*Znear/(Zfar-Znear)0。做完線性變換之后，再進(jìn)行所謂的“歸一化”，即用w分量去除結(jié)果向量。 現(xiàn)在我們考慮
