08109323102陳鋒茂[畢業(yè)論文]

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1、本科畢業(yè)論文（2012屆）題目:有限差分方法在偏微分方程求解中的應(yīng)用學(xué)院:數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專　　業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班　　級:08數(shù)本一姓名:陳鋒茂學(xué)號:08109323102指導(dǎo)老師:連新澤完成日期:2012年4月22日目錄引言11有限差分格式11.1網(wǎng)格剖分11.2用Taylor級數(shù)展開方法建立差分格式31.3隱式差分格式61.4研究有限差分格式穩(wěn)定性的Fourier方法81.4.1Fourier方法91.4.2判別準則122偏微分方程數(shù)值解152.1顯性差分格式152.1.1差分格式的建立152.1.2穩(wěn)定性分析1

2、52.1.3數(shù)值例子162.2半顯性差分格式172.2.1差分格式的建立172.2.2穩(wěn)定性分析182.2.3數(shù)值算例193時滯偏微分方程組數(shù)值解213.1差分格式的建立213.2數(shù)值例子22致謝23參考文獻24有限差分方法在偏微分方程求解中的應(yīng)用陳鋒茂08數(shù)本一摘要：本文主要研究有限差分方法在偏微分方程求解中的應(yīng)用，闡述了有限差分方法的基本原理及其求解步驟，并介紹了判斷有限差分格式穩(wěn)定性的Fourier方法。對于常系數(shù)擴散方程，通過引入擴散項的方法，建立了一個3層條件穩(wěn)定的顯性差分格式，通過數(shù)值算例驗證了該差分格式的可

3、靠性和精確性。對于一維拋物型方程，在空間上利用四階緊致差分逼近公式和加權(quán)平均思想，構(gòu)造了一種高精度無條件穩(wěn)定的半顯式差分格式，并用Fourier分析方法證明了該差分格式是無條件穩(wěn)定的。數(shù)值例子表明，所建立的差分格式是有效的。最后對于生態(tài)學(xué)上一個常見的時滯偏微分方程組，建立了半顯式差分格式，對于具體的數(shù)值例子，給出了數(shù)值解的三維曲面圖。關(guān)鍵字：有限差分方法，偏微分方程，數(shù)值解，有限差分格式，時滯偏微分方程組引言計算機的飛速發(fā)展，正在日益影響著人們對傳統(tǒng)數(shù)值分析（即計算方法）的認識。近幾十年來，人們越來越認識到計算方法的學(xué)習(xí)

4、與研究離不開計算機，僅靠數(shù)學(xué)理論的演繹和推導(dǎo)還不能完整地解決實際中的數(shù)值問題，要想研制出好的、實用的算法，必須要集合計算機科學(xué)。實踐證明，計算方法正在日趨明顯地成為數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)的交叉性學(xué)科?？茖W(xué)計算已經(jīng)和理論計算、實驗并列為三大科學(xué)方法[1]。偏微分方程定解問題在科學(xué)及工程計算中有著廣泛的實際背景，人們可以通過偏微分方程對各種自然現(xiàn)象進行描述、解釋和預(yù)測[2]。隨著計算機科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，現(xiàn)在已經(jīng)可以通過編制高效的程序?qū)Ω鞣N偏微分方程問題進行數(shù)值求解，偏微分方程數(shù)值解法在科學(xué)和工程計算中將起著越來越大的作用。諸如大

5、型水壩應(yīng)力分析、數(shù)值天氣預(yù)報、飛行器設(shè)計的風(fēng)洞實驗等許多例子都可以說明求解偏微分方程的數(shù)值解在科學(xué)和各門工程中的應(yīng)用是多么重要。對偏微分方程進行數(shù)值求解已經(jīng)成為科學(xué)與工程計算的核心內(nèi)容，當今最普遍的求偏微分方程數(shù)值解的方法主要有兩類，分別為有限元方法和有限差分方法。目前，這兩類方法在應(yīng)用上有不同的側(cè)重，有限元方法則側(cè)重于定態(tài)問題（如橢圓型方程），而有限差分方法則側(cè)重于依賴時間的問題（如拋物型和雙曲型方程）。本文主要研究有限差分方法在偏微分方程求解中的應(yīng)用。1有限差分格式1.1網(wǎng)格剖分因為有限差分方法是離散的，而偏微分方程

6、問題是連續(xù)的，因此在用有限差分方法對偏微分方程問題進行數(shù)值求解時，必須要把連續(xù)的問題進行離散化。因此，就要對所要求解的區(qū)域進行網(wǎng)格剖分，求解區(qū)域隨著所要求解的問題的不同而不同。下面就用幾個具體的例子來說明怎么對不同的求解區(qū)域給出網(wǎng)格剖分，在這個過程中也我們也引入了一些常用的術(shù)語[3]。例1.1對于拋物型方程和雙曲型方程的初邊值問題，設(shè)其求解區(qū)域為首先我們在的上半平面作兩族平行于坐標軸的直線，這樣就把上半平面劃分成了24矩形網(wǎng)格。我們稱這樣的直線為網(wǎng)格線，其交點稱為節(jié)點或網(wǎng)格點。就一般而言，平行于軸的直線是可以等距的，設(shè)其

7、距離為，有時也可以為，稱為空間步長。而大多數(shù)平行于軸的直線一般是不等距的，這里為了簡便起見，一般地也假設(shè)它們是等距的，設(shè)其距離為，有時也可以記為，稱其為時間步長。這樣，這兩族網(wǎng)格線就可以寫作其中。網(wǎng)格節(jié)點又可簡記為。的網(wǎng)格剖分見圖1.1。圖1.1例1.2對于拋物型方程和雙曲型方程的初值問題，求解區(qū)域為上述求解區(qū)域的網(wǎng)格剖分是由平行于軸的直線族與平行于軸的直線族所構(gòu)成的，的網(wǎng)格剖分見圖1.2。例1.3求解橢圓型方程的邊值問題[4]。假設(shè)其求解區(qū)域為平面上的一個有界區(qū)域，其邊界是分段光滑的曲線。取沿軸和軸方向的步長分別為和對

8、該區(qū)域進行網(wǎng)格剖分，作兩族分別與軸和軸平行的直線與前面的例子一樣，我們稱兩族直線之間的交點為節(jié)點或網(wǎng)格點，并記為或簡記為。我們僅考慮那些屬于的節(jié)點。兩個節(jié)點相鄰是指它們沿軸方向（或沿24軸方向）僅相差一個步長。一個節(jié)點被稱為邊界節(jié)點（簡稱邊界點）是指該節(jié)點的4個相鄰節(jié)點中至少有一個是不屬于的。一個節(jié)點被稱為內(nèi)部節(jié)點（