由一道習(xí)題引發(fā)的一點(diǎn)思考

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1、由一道習(xí)題引發(fā)的一點(diǎn)思考——活用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式解題安昌鎮(zhèn)中學(xué)王美芳摘要：數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式是平面解析幾何中最基本的公式，它可以延伸出很多相關(guān)的問題。我們需要活用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式解題，根據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)設(shè)適當(dāng)?shù)臄?shù)軸，利用兩點(diǎn)間的距離公式、數(shù)與形相結(jié)合，可以使一些代數(shù)問題得到直觀、形象、簡捷、合理的解答。關(guān)鍵字：最值數(shù)軸兩點(diǎn)之間的距離平面直角坐標(biāo)系在一次偶然的機(jī)會(huì)中，學(xué)生拿著一份八年級的《一元一次不等式》試卷來問下面這樣一道題目：（1）請閱讀下面材料:點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b

2、，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為

3、AB

4、.①當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn),如圖1,

5、AB

6、=

7、OB

8、=

9、b

10、=

11、a-b

12、；BOAb0a圖4BAObao圖3OAB0ab圖2O(A)B0b圖1②當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊，

13、AB

14、=

15、OB

16、–

17、OA

18、=

19、b

20、–

21、a

22、=b-a=

23、a-b

24、；③如圖3，點(diǎn)AB都在原點(diǎn)的左邊，

25、AB

26、=

27、OB

28、–

29、OA

30、=

31、b

32、–

33、a

34、=-b-(-a)=

35、a-b

36、；④如圖4，點(diǎn)A、B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩邊，

37、AB

38、=

39、OA

40、+

41、OB

42、=

43、

44、a

45、+

46、b

47、=a+(-b)=

48、a-b

49、.綜上所述，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離

50、AB

51、=

52、a-b

53、.（2）回答下列問題：①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是；②數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，如果

54、AB

55、=2，那么x為；③當(dāng)代數(shù)式

56、x+1

57、+

58、x-2

59、取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍是.其實(shí)，這道題前半部分的閱讀材料就是在論證數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離

60、AB

61、=

62、a-b

63、，應(yīng)用這個(gè)結(jié)論，第（2）題中的①②兩小題基

64、本上是沒有問題的。但是，在做第③小題時(shí)，我想學(xué)生基本上就要犯困惑了：

65、x+1

66、+

67、x-2

68、，這是什么意思？最小值？怎么求？為什么會(huì)有最小值呢？而且放在一元一次不等式中，難道會(huì)應(yīng)用不等式解題？于是，鑒于學(xué)生思維的定勢（考慮一元一次不等式）和對前面求數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的理解程度，我給她講解了兩種方法：方法一：利用一元一次不等式解題①當(dāng)x+1＞0，x-2＞0，即x＞2時(shí)，原式=x+1+x-2=2x-1＞3.②當(dāng)x+1＜0，x-2＜0，即x＜-1時(shí)，原式=-（x+1）-（x-2）=-2x+1＞3.③當(dāng)x

69、+1＞0，x-2＜0，即-1＜x＜2時(shí)，原式=x+1-（x-2）=3.④當(dāng)x+1＜0，x-2＞0，x無解。綜上所述，

70、x+1

71、+

72、x-2

73、的最小值是3，此時(shí)x的范圍是-1＜x＜2.再考慮，當(dāng)x=-1或者2時(shí)，代數(shù)式的值是3，所以完整的x的取值范圍應(yīng)該是-1≤x≤2.方法二：運(yùn)用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離解題

74、x+1

75、+

76、x-2

77、可以表示為

78、x-(-1)

79、+

80、x-2

81、，那么這就可以看做數(shù)軸上表示x的這個(gè)點(diǎn)到-1和2這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離之和，這個(gè)距離的最小值很明顯是3，此時(shí)x的范圍是-1＜x＜2.如果x不在這

82、個(gè)范圍之內(nèi)，如圖5，原式=AB+AC＞BC=3；如圖6，原式=AC+BC＞AB=3.如果x在-1與2之間，如圖7，原式=AB+BC=AC=3.同樣的，再考慮端點(diǎn)值是滿足條件的，所以x的取值范圍是-1≤x≤2.ABCABCABC-1x2-12xX-12圖5圖6圖7講解之后，學(xué)生恍然大悟，原來還可以這樣做的??！但是，這一句感嘆讓我感慨不已，這樣一道關(guān)于最值的問題是值得我們深思的。八年級學(xué)生的知識面還不是很完全，往往他們想到的就是目前我們正在學(xué)習(xí)的東西，就像上面的這道題，學(xué)生就在想是不是、怎樣用不等式解

83、啊，思維就定勢了，結(jié)果就找不到正確的解決路徑。再者，在我們之前的學(xué)習(xí)中，還沒有涉及過最值的問題，我們也一直在考量學(xué)生的接受程度是否適合做這樣的最值問題?？梢赃@么說，現(xiàn)在的八年級學(xué)生是基本上接觸不到這一類求最值的題目的。那么，是不是因?yàn)檫@樣或者那樣的原因，我們的學(xué)生目前就不需要學(xué)會(huì)這樣的求最值的問題了呢？答案是很明確的。所以，如何活用我們目前已經(jīng)掌握的知識，并且能夠在遇到一些我們沒有見到過的問題時(shí)能臨危不亂，這是我們急需要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)該產(chǎn)生的危機(jī)意識。所以，在學(xué)生面對數(shù)軸上求兩點(diǎn)之間的距離的問題的同時(shí)

84、，我也在思考:怎么樣才能把這個(gè)知識點(diǎn)融會(huì)貫通呢？畢竟，涉及到這個(gè)知識點(diǎn)的題目是可以多變的，比如：解一些特殊的方程、求平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離等等。針對以上的一些思考，我總結(jié)了幾點(diǎn)個(gè)人的想法：一、用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式解特殊的絕對值方程例1：解方程+=4（"祖沖之杯"邀請賽試題）解：是x與1兩點(diǎn)的距離，是x與5兩點(diǎn)距離，x在數(shù)軸上的位置有3種情況：如圖（1）x在1與5之間（2）x在1的左邊（3）x在5的右邊顯然，x在1和5之間（包括1和5）原方程成立。所以，1≤x≤5。例2