從幾何的角度看代數(shù)問(wèn)題1

《從幾何的角度看代數(shù)問(wèn)題1》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、從幾何的角度看代數(shù)問(wèn)題廣東省東源中學(xué)鄒海彬摘要：將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，往往有事半功倍的效果，這里從構(gòu)造幾何圖形的角度對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解，介紹了幾種方法以及實(shí)例，包括了構(gòu)造三角形，正方形或矩形，長(zhǎng)方體，棱錐，以及利用托勒密定理。關(guān)鍵詞:構(gòu)造幾何圖形代數(shù)不等式證明引言數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從更深的層次講，是發(fā)散型思維活動(dòng)的學(xué)習(xí)，如果我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中。例如，在做各種數(shù)學(xué)習(xí)題的過(guò)程中，能主動(dòng)地依據(jù)問(wèn)題的已知條件和所求所證，多方向、多角度地拓寬我們的思維渠道，那么，我們的創(chuàng)造性思維能力將會(huì)得到很快的發(fā)展。下文僅從構(gòu)造圖形解決數(shù)學(xué)問(wèn)題培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維展開(kāi)。構(gòu)造圖形解題，它的應(yīng)用十分廣泛，特別是

2、有些技巧性很強(qiáng)的題目，如果不能發(fā)現(xiàn)題目中所隱含的幾何意義，而用通常的代數(shù)方法去思考，經(jīng)常讓我們手足無(wú)措，難以下手，這時(shí)，如果能轉(zhuǎn)換思維，發(fā)現(xiàn)題目中隱含的幾何條件，通過(guò)構(gòu)造適合的幾何圖形，將會(huì)得到事半功倍的效果，因?yàn)闃?gòu)造適當(dāng)?shù)膸缀螆D形往往能使問(wèn)題的解決變得非常簡(jiǎn)潔巧妙。論文分為兩部分，主要通過(guò)列舉來(lái)說(shuō)明，第一部分是對(duì)不同圖形構(gòu)造的總結(jié)（一共總結(jié)了六大類(lèi)），第二部分是列舉不等式證明題目，題目采用不同解法（主要是通過(guò)構(gòu)造不同圖形）。部分題目是我們自己設(shè)計(jì)的，部分題目是從參考文獻(xiàn)中提取并用不同解法得出的，在文中均有注明。1..圖形構(gòu)造的幾類(lèi)方法的總結(jié)1.1構(gòu)造三角形解決代數(shù)問(wèn)題：1.1.1利用勾

3、股定理構(gòu)造直角三角形例1【1】已知x、y、z、r都為正數(shù)，且求證：作者簡(jiǎn)介：鄒海彬（1979—），男，廣東河源人，中教一級(jí)，主要研究方向：數(shù)學(xué)理論教學(xué)分析：由很容易想到勾股定理，且又注意到x、y、z都為正數(shù)的條件，則會(huì)想到構(gòu)造直角三角形來(lái)解決問(wèn)題.24/24證明：構(gòu)造直角三角形如上圖，其中，，，；作CD⊥AB于D，由射影定理,，又由題意有且r＞0，從而有CD=r，所以△ABC的面積，這可得例2【2】知：m、n、p為正數(shù)，且。求的最小值.ADBCppmmEnn分析：此題如果直接用代數(shù)方法來(lái)解，顯得難以入手，但題目所給的等式有明顯的幾何結(jié)構(gòu)，將其變形為，則會(huì)很容易聯(lián)想到勾股定理，且又注意到m

4、、n、p為正數(shù)這個(gè)條件，則會(huì)想到構(gòu)造一個(gè)有關(guān)于直角三角形會(huì)有助于解題，從而使問(wèn)題得到解決.解：構(gòu)造以m、n為直角邊，p為斜邊的Rt△ABC和Rt△DEC，如上圖擺放，則在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳D=，所以，所以。所以的最小值是.例3【3】設(shè)a、b、c、d都是正數(shù)，證明存在一個(gè)三角形，它的邊長(zhǎng)為24/24試計(jì)算這個(gè)三角形的面積。分析：通常的思維是證明三個(gè)數(shù)中最大數(shù)小于其它兩數(shù)之和來(lái)證明三角形的存在，但這道題用此方法是很難證明的，海倫公式求面積法在此題中也很難運(yùn)用.注意到由勾股定理可構(gòu)造一個(gè)邊長(zhǎng)為，的矩形如下圖：解：以、為邊長(zhǎng)作矩形如上圖，在上取，使，；在上取，使，.由圖2易知：從而△就是

5、以上三個(gè)數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形，其面積為：另外，我們模仿別人的題目設(shè)計(jì)了如下的變式題目并總結(jié)出自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；對(duì)于一些數(shù)學(xué)題目中的具體數(shù)字，如果能構(gòu)造成平方和，也可利用上面的方法來(lái)解決；例4設(shè)O是△ABC的重心，且OA=5，OB=12，OC=13，求△ABC的面積.分析：若學(xué)生對(duì)數(shù)字比較敏感，則能發(fā)現(xiàn)5,12,13有明顯的幾何意義，因?yàn)橛?由此想到可以利用勾股定理構(gòu)造直角三角形來(lái)解題.解：如上圖，延長(zhǎng)AO到D，使OD=AO，設(shè)AD交BC于E，連結(jié)BD、CD,則容易證明四邊形OBDC是平行四邊形，從而有DC=OB=12，BD=OC=13，又OD=AO=5，由知△OBD是直角三角形，24/24從而

6、BO⊥AO,又有AO=OD,所以，又重心和三頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相等，所以類(lèi)似的數(shù)組還有(1)3,4,5;(2)7,24,25;(3)11,60,61;(4)12,35,37;(5)13,84,85;(6)20,21,29;(7)60,91,109;…這些數(shù)組都滿足兩數(shù)的平方和等于另一個(gè)數(shù)的平方.由此我們可以總結(jié)出結(jié)論：設(shè)O是△ABC的重心，滿足，則.具體證明可以仿照例4證明：不妨我們?cè)O(shè)如上圖，延長(zhǎng)AO到D，使OD=AO，設(shè)AD交BC于E，連結(jié)BD、CD,則容易證明四邊形OBDC是平行四邊形，從而有DC=OB=，BD=OC=，又OD=OA=，由知，從而可知△OBD是直角三角形

7、，所以有BO⊥AO,又有AO=OD,所以，又重心和三頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相等，所以即,結(jié)論得證.小結(jié)：由上可知，一般地，如果在數(shù)學(xué)題目中出現(xiàn)代數(shù)式的平方和，或者通過(guò)題目的條件能化簡(jiǎn)出代數(shù)式的平方和，又或者題目中所含的數(shù)字滿足勾股定理，而且題目難以通過(guò)一般的代數(shù)求解，這時(shí)可以轉(zhuǎn)換思維，從幾何的角度思考，利用勾股定理構(gòu)造處直角三角、矩形等來(lái)解題，往往能事半功倍.1.1.2構(gòu)造圖形解三角代數(shù)問(wèn)題對(duì)于三角代數(shù)問(wèn)題，一般我們采用對(duì)