0910012137李鳳英-文獻(xiàn)綜述

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1、文獻(xiàn)綜述畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）文獻(xiàn)綜述院系：應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院年級(jí)專業(yè)：09信息與計(jì)算科學(xué)姓名：李鳳英學(xué)號(hào)：0910012137指導(dǎo)老師評(píng)語：指導(dǎo)教師簽名：年月日7文獻(xiàn)綜述實(shí)數(shù)連續(xù)性定理的等價(jià)性證明文獻(xiàn)綜述【內(nèi)容摘要】實(shí)數(shù)集是一個(gè)完備的數(shù)集，實(shí)數(shù)連續(xù)性定理包括：確界定理、單調(diào)有界收斂定理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)定理、致密性定理、柯西準(zhǔn)則。這七個(gè)定理可由確界存在性定理出發(fā)依次證明，用致密性定理證明柯西準(zhǔn)則的充分性，再由柯西準(zhǔn)則充分證明確界存在性定理，形成一個(gè)封閉的循環(huán)。同時(shí)，對(duì)這個(gè)環(huán)上的任意兩個(gè)定理都可以證明其等價(jià)性，它們都刻畫了實(shí)數(shù)集R的連續(xù)性。本文建立在微

2、積分的基礎(chǔ)上，探討了數(shù)學(xué)分析中的這個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)，對(duì)實(shí)數(shù)連續(xù)性定理的等價(jià)性證明進(jìn)行了深入的學(xué)習(xí)?！娟P(guān)鍵字】確界定理單調(diào)有界收斂定理區(qū)間套定理有限覆蓋定理聚點(diǎn)定理致密性定理柯西準(zhǔn)則實(shí)數(shù)連續(xù)性第一章導(dǎo)言數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)是實(shí)數(shù)理論。實(shí)數(shù)系最重要的特征是實(shí)數(shù)的連續(xù)性，有了實(shí)數(shù)的連續(xù)性，才能討論極限，連續(xù)，微分和積分。正是在討論函數(shù)的各種極限運(yùn)算的合法性的過程中，人們逐漸建立起嚴(yán)密的數(shù)學(xué)分析理論體系。《數(shù)學(xué)分析》課程是一門面向數(shù)學(xué)類專業(yè)的基礎(chǔ)課。學(xué)好數(shù)學(xué)分析是學(xué)好其他后繼數(shù)學(xué)課程如微分幾何，微分方程，復(fù)變函數(shù),實(shí)變函數(shù)與泛函分析，計(jì)算方法，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等課程的必備

3、的基礎(chǔ)。作為數(shù)學(xué)系最重要的基礎(chǔ)課之一，數(shù)學(xué)科學(xué)的邏輯性和歷史繼承性決定了《數(shù)學(xué)分析》在數(shù)學(xué)科學(xué)中舉足輕重的地位，數(shù)學(xué)的許多新思想，新應(yīng)用都源于這堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)?！稊?shù)學(xué)分析》在實(shí)數(shù)完備性理論體系上的嚴(yán)格化和精確化，確立了它在整個(gè)自然科學(xué)中的基礎(chǔ)地位，并運(yùn)用于自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。同時(shí)，數(shù)學(xué)研究的主體是經(jīng)過抽象后的對(duì)象，數(shù)學(xué)的思考方式有鮮明的特色，包括抽象化、邏輯推理、最優(yōu)分析、符號(hào)運(yùn)算等。這些知識(shí)和能力的培養(yǎng)需要通過系統(tǒng)、扎實(shí)而嚴(yán)格的基礎(chǔ)教育來實(shí)現(xiàn)，數(shù)學(xué)分析課程正是其中最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。綜合所參考的文獻(xiàn)，也讓我們對(duì)實(shí)數(shù)連續(xù)性定理的等價(jià)性有了更深入的了解。第二章研

4、究現(xiàn)狀7文獻(xiàn)綜述十七世紀(jì)，微積分這一銳利無比的數(shù)學(xué)工具為牛頓、萊布尼茨各自獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，推動(dòng)了科學(xué)技術(shù)的前進(jìn)。然而，貝克萊對(duì)牛頓理論的攻擊，將無窮小量嘲笑為“消失的量的靈魂”，卻真正抓住了牛頓理論的缺陷。一方面，微積分在應(yīng)用中大獲成功；一方面其自身卻存在著邏輯矛盾。至十九世紀(jì)，由十七、十八世紀(jì)積累下來的矛盾到了非解決不可的程度。使分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化的工作由法國著名數(shù)學(xué)家柯西邁出了第一大步。他給出了分析學(xué)一系列基本概念的嚴(yán)格定義。1823年，柯西給出了“柯西收斂定理”。而早在1817年，波爾察諾就確切地陳述了有界實(shí)數(shù)集的最小上界（即上確界）的定義。利用他的思想，魏

5、爾斯特拉斯在19世紀(jì)60年代證明了“波爾察諾—魏爾斯特拉斯緊致性定理”。海涅于1872年提出“有限覆蓋定理”，波萊爾于1895年完善并證明了“有限覆蓋定理”。1872年，實(shí)數(shù)的三大派理論：戴德金“分劃”理論，康托的“基本序列”理論及魏爾斯特拉斯的“有界單調(diào)序列”理論，同時(shí)在德國出現(xiàn)，1892年，巴赫曼提出了建立實(shí)數(shù)理論的一個(gè)重要原理——區(qū)間套原理。由此，沿柯西開辟的道路建立起來的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論與實(shí)數(shù)理論，完成了分析學(xué)的邏輯奠基工作，從而使微積分學(xué)這座數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎(chǔ)之上。1999年,在《數(shù)學(xué)分析七大定理的互相證明》[1]一文中，

6、作者李寒對(duì)實(shí)數(shù)連續(xù)性的7個(gè)基本定理進(jìn)行了表述，其表述如下：確界定理：在實(shí)數(shù)系R內(nèi)，非空的有上（下）界的數(shù)集必有上（下）確界存在。單調(diào)有界定理：若數(shù)列單調(diào)遞增（遞減）有上界（下界）,則數(shù)列收斂，即單調(diào)有界函數(shù)必有極限。區(qū)間套定理：若是一個(gè)區(qū)間套,則在實(shí)數(shù)系中存在唯一的一點(diǎn),使得,,即,有限覆蓋定理：實(shí)數(shù)閉區(qū)間的任意一個(gè)覆蓋H，必存在有限的子覆蓋。緊致性定理：有界數(shù)列必含有收斂子數(shù)列。聚點(diǎn)定理：實(shí)軸上的任一有界無限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)?？挛魇諗繙?zhǔn)則：實(shí)數(shù)列有極限的充分必要條件是：對(duì)任意給定的，存在7文獻(xiàn)綜述正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有成立。2000年，在《關(guān)于實(shí)數(shù)連續(xù)性的

7、注記》[2]一文中，作者姜本源、石艷霞提出，數(shù)直線和坐標(biāo)平面的連續(xù)性奠定了極限理論乃至整個(gè)微積分學(xué)的基礎(chǔ)。人們發(fā)現(xiàn)了很多命題去描述這種連續(xù)性，而這些命題則是我們所要討論的實(shí)數(shù)連續(xù)性的七個(gè)基本定理。這七個(gè)基本定理雖然數(shù)學(xué)形式不同，但是彼此之間都是等價(jià)的。在很多數(shù)學(xué)分析教材中，由于教學(xué)課時(shí)的需要和限制，一般都沒有對(duì)命題的等價(jià)性做出完整的證明，而此文則對(duì)運(yùn)用循環(huán)證明的方法對(duì)幾個(gè)基本定理的等價(jià)性做出了證明，以供初學(xué)者參考。2002年，在《Puresolutionmathematicalanalysisexercises》[3]一文中，也同樣對(duì)實(shí)數(shù)連續(xù)性六個(gè)基本定

8、理有詳細(xì)的定義及描述。而后，作者用確界定理、單調(diào)有界定理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定