王祥富--函數(shù)綜合

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1、2012年江蘇省高中數(shù)學(xué)夏令營講義——函數(shù)綜合（一）1.設(shè)，關(guān)于的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值。2.已知函數(shù)的定義域。若值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?.（2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽題）已知是正整數(shù)，關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根的絕對值均小于。求的最小值。4.（2009年遼寧省數(shù)學(xué)競賽試題）設(shè)，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上無解。（1）求的值；（2）求所有的實(shí)數(shù)對。5.對任意的實(shí)數(shù)，表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)。證明方程沒有實(shí)數(shù)解。6.設(shè)函數(shù)，，（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，若直線軸，求兩點(diǎn)間的最短距離；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像恒在的圖像的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍。7

2、.（2010年湖北省競賽題）對于一切，不等式恒成立。求實(shí)數(shù)的取值范圍。8.（2002年全國高中聯(lián)賽題）實(shí)數(shù)和正數(shù)，使得有三個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足（1）；（2）。求的最大值。9.設(shè)為△ABC的三邊得的長。若，求證：（1）；（2）。10.討論函數(shù)的圖像的對稱性。11.（2007武大）已知函數(shù)，求證：。12.（2009清華），求證：。13.（2011北約）求的最小值。14.（2012卓越聯(lián)盟）函數(shù)。（1）（），求證：；（2）如果有極小值，試證明。15.（第24屆IMO試題）已知，且滿足條件：（1）對任意的，有；（2）時(shí)，。試求函數(shù)。2012年江蘇省高中

3、數(shù)學(xué)夏令營講義——函數(shù)綜合（二）16.已知方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值。17.已知函數(shù)，。若存在，使得是的最大值，是的最小值，則滿足條件的所有實(shí)數(shù)對有多少對。18..(2010年全國高中聯(lián)賽題)已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，。試求的最大值。19.（2010年四川省競賽題）已知函數(shù)().（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對一切實(shí)數(shù)有，求實(shí)數(shù)的取值范圍。20.已知關(guān)于的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的所有可能值。21.（2009年全國高中聯(lián)賽題）求函數(shù)的最大值和最小值。22.（2010年山東省競賽題）求函數(shù)的圖像的對稱中心。23.（2012南開數(shù)學(xué)試點(diǎn)班

4、）已知曲線，斜率為的兩條直線與交于A、B兩點(diǎn)。（1）求證：AB中點(diǎn)在曲線上。（2）已知AB，求的值。24.（2010年河北省競賽題）已知函數(shù)。（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值。（2）求證：函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，并求單調(diào)遞減區(qū)間的長度的取值范圍。25.（2010年希臘數(shù)學(xué)奧林匹克題）求所有的函數(shù)滿足對于任意的，有，且在上嚴(yán)格單調(diào)。26.設(shè)，且，求證：。27.（2009年中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克題）實(shí)數(shù)列滿足，且，求最小的，使得對所有的，都有。28.（第31屆IMO中國國家集訓(xùn)隊(duì)測驗(yàn)題）設(shè)為奇數(shù)，也是自然數(shù)。證明：存在一個(gè)函數(shù)在

5、自然數(shù)集上是嚴(yán)格遞增的，使得對每一個(gè)，都有。29.在平面直角坐標(biāo)系中，如果軸與函數(shù)的圖像一次交于A、B、C、D（自左向右排列），且線段AB、AC、AD能構(gòu)成一個(gè)三角形，則稱軸為曲線的一條“三角形線”。證明：與軸平行且與曲線交于四個(gè)不同點(diǎn)的直線必為曲線的三角形線。30.（2009年IMO50試題）求所有的從正整數(shù)集到正整數(shù)集上的滿足如下條件的函數(shù)多所有的正整數(shù)，都存在一個(gè)以為邊長的三角形。（非退化的）