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《數(shù)學模型作業(yè)(1-2周)(姜啟源第三版)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、[習題1.4]對長方形椅子在地面上可放穩(wěn)的證明問題背景問題來自于書本1.3案例一，椅子由正方形一般化為矩形。建模準備1.椅子旋轉方式：椅子四腳構成矩形ABCD，以垂直于平面ABCD，且經過對角線AC，BD交點O的直線為旋轉軸；且旋轉僅在平面ABCD上進行；2.意義同前；模型假設與1.3案例一相同。模型建立與求解與均為連續(xù)函數(shù)。且由于任何時刻均有三腳著地，即與至少有一個為零，故恒成立。不失一般性，假設在初始時刻AC著地，即。因此，對角線BD只要沿旋轉軸旋轉即可保證BD著地，不失一般性，可假設此時旋轉角為，（
2、如圖1），此時，。因此證明歸結為證明以下數(shù)學命題：已知為連續(xù)函數(shù)，對任意，有；且，，，，，,s.t..證明：構造函數(shù)，易知連續(xù)而且由連續(xù)函數(shù)介值性定理，，且進一步研究還有一種簡便證明如下：按照上述旋轉規(guī)則，椅子四腳在一個圓周上運動（如圖二），假設椅子的D腳一直不著地，則ABC三腳運動至D腳位置也會不著地，這與假設三矛盾，因此在圓周上必有一位置使得椅子四腳同時著地。（圖一，圖二均在背面）[習題1.5]人貓雞米渡河問題研究問題重述人帶著貓、雞、米過河，從左岸到右岸，船除了需要人劃之外，只能載貓、雞、米三者之一
3、，人不在場時貓要吃雞、雞要吃米。試設計一個安全過河方案，使渡河次數(shù)盡量地少。符號說明：代表人的狀態(tài)，人在該左岸或船上取值為1，否則為0；：代表貓的狀態(tài)，貓在該左岸或船上取值為1，否則為0；：代表雞的狀態(tài)，雞在該左岸或船上取值為1，否則為0；：代表米的狀態(tài)，米在該左岸或船上取值為1，否則為0；：狀態(tài)向量，代表時刻K左岸的狀態(tài)；：決策向量，代表時刻K船上的狀態(tài)；模型的建立狀態(tài)向量集合；決策向量集合;轉移狀態(tài)方程：限制條件：初始狀態(tài)：目標：確定有效狀態(tài)集合，使得在有限步內左岸狀態(tài)由模型的求解根據乘法原理，四維向
4、量共有種情況，根據限制條件可以排除三種情況，其余13種情況可以歸入兩個集合進行匹配，易知可行決策集僅有五個元素：,狀態(tài)集有8個元素，將其進行匹配，共有兩種運送方案：方案一：人先帶雞過河，然后人再回左岸，把米帶過右岸，人再把雞運回左岸，人再把貓帶過右岸，最后人回來把雞帶去右岸（狀態(tài)見表1）；方案二：人先帶雞過河，然后人再回左岸，把貓帶過右岸，人再把雞運回左岸，人再把米帶過右岸，最后人回來把雞帶去右岸（狀態(tài)見表2）。表1：方案一的狀態(tài)與決策時刻左岸狀態(tài)船上（1,1,1,1）（0,0,0,0）（0,1,0,1）
5、（1,0,1,0）（1,1,0,1）（1,0,0,0）（0,1,0,0）（1,0,0,1）（1,1,1,0）（1,0,1,0）（0,0,1,0）（1,1,0,0）（1,0,1,0）（1,0,0,0）（0,0,0,0）（1,0,1,0）表2：方案二的狀態(tài)與決策時刻左岸狀態(tài)船上（1,1,1,1）（0,0,0,0）（0,1,0,1）（1,0,1,0）（1,1,0,1）（1,0,0,0）（0,0,0,1）（1,1,0,0）（1,0,1,1）（1,0,1,0）（0,0,1,0）（1,0,0,1）（1,0,1,0）（
6、1,0,0,0）（0,0,0,0）（1,0,1,0）[習題1.61.7]對藥物中毒模型的進一步探究確定最小危險劑量在書本案例1.5中，將初始條件改為，（C為任意正常數(shù)），，注意到比例系數(shù)與初始條件無關，故，，最后解出：.藥物血液濃度達到最大值。確定兒童與成人嚴重中毒和致命的氨茶堿最小服用量即為解以下方程：因此兒童嚴重中毒最小劑量為497mg，兒童死亡最小劑量為995mg；成人嚴重中毒最小劑量為995mg，成人死亡最小劑量為1990mg。體外血液透析法建模采用血液透析法后，有：，解之，，用MATLAB作圖如
7、下：由此可見，用血液透析法有較大優(yōu)勢（分析略）[習題2.1]八人艇重量級與輕量級成績比較問題背景在2.3節(jié)中考慮了劃艇比賽成績與漿手數(shù)目的關系，接下來要考慮的是將八人艇分重量艇組（漿手體重不超過86kg）與輕量艇組（漿手體重不超過73kg），建立模型說明重量級組的成績比輕量級組大約好5%。符號說明符號意義艇長艇寬總功率艇排水體積艇與漿手總重賽艇凈重重量級漿手重量輕量級漿手總重艇的浸沒面積重量級艇速輕量級艇速艇前進時受到的阻力重量級賽艇成績（時間）輕量級賽艇成績（時間）比例常數(shù)模型假設1．為常數(shù)，賽艇凈重與
8、漿手數(shù)目成正比，即；2．賽艇前進時收到阻力與成正比；3.每個漿手比賽時劃槳功率保持不變，且功率與體重成正比。模型建立克服阻力做功功率為，因此總功率滿足，且，我們用量綱法進行建模：對于重量級八人賽艇：(1)(2)(3)由上述各式有：，因此(4)且已知(5)又賽艇總重;由于假設2可知：（為常數(shù)），因此有。我們如下定義：(6)從而(7)根據阿基米德定律,根據（7）式：(8)將（8）式代入（5）式中有：(9)將（9）式代入（4）式中有
