南京理工自主招生數(shù)學試卷

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1、數(shù)學自主招生、保送生考試數(shù)學試卷一.填充題:本大題共20小題,每小題5分,共計100分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.1.設全集,則▲2.若命題“”是假命題,則實數(shù)的取值范圍為▲.3.已知圓:,直線.過上一點作圓的切線,則當切線長最短時,點的坐標為▲4.函數(shù)的值域為▲5．對一個作直線運動的質點的運動過程觀測了8次,得到如下表所示的數(shù)據(jù).觀測次數(shù)12345678觀測數(shù)據(jù)4042414444454748在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析中,一部分計算見如圖所示的算法流程圖（其中是這8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)），則輸出的S的值是▲

2、6.已知平面向量滿足:與的夾角為,則的取值范圍為▲7.已知正三棱柱的底面邊長為1,兩側面的異面的對角線互相垂直,則該三棱柱的側棱長為▲8.某公司在2010年投資了一個項目,每年都既有現(xiàn)金投入,又有現(xiàn)金收入.已知2010年度公司投入了1000萬元,以后每年投入將比上年減少20%;2010年度公司收入了500萬元,以后每年收入會比上年增加25%.按此計算,公司將于▲年即可收回全部投入.(參考數(shù)據(jù):)9.已知橢圓為其左右焦點,為橢圓上任意一點,為內切圓圓心,點滿足且(且),則橢圓的離心率是▲10.已知關于方程

3、，其中、、是非零向量，且、不共線，則該方程實數(shù)解的個數(shù)為▲個11.已知若不等式在上有解,則實數(shù)的取值范圍為▲12.已知，若函數(shù)存在整數(shù)零點，則的取值范圍為▲13.設表示不超過的最大整數(shù),例如:等.則方程在11內的解組成的集合為▲14.已知數(shù)列滿足:,且,則的通項公式為▲15.已知為正常數(shù),,若的最大值為,且,則的取值范圍為▲16.已知函數(shù).（），那么下面命題中真命題的序號是▲:①的最大值為;②的最小值為;③在上是減函數(shù);④在上是減函數(shù).17.已知函數(shù),若且在區(qū)間上的最小值為,則▲18.設函數(shù)是定義在上的

4、奇函數(shù),且對任意的,當時,總有,則下列不等式一定成立的是▲(填上你認為正確的結論的序號):①;②;③;④19.在平面直角坐標系中,為坐標原點.定義、兩點之間的“直角距離”為,若點在直線上運動,定義.已知點，直線的方程為，則的最大值為▲20.已知函數(shù),若在上既有最大值,又有最小值,且最大值與最小值的和為,則▲.二.解答題:本大題共6小題,共計100分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.21．（本小題滿分14分）在銳角中,角的對邊分別為,已知.（Ⅰ）若,求的值;（Ⅱ）求的最大值.22.（本小題滿分1

5、4分）如圖，在三棱錐中，，，側面為等邊三角形，側棱,為中點.（Ⅰ）求證：⊥；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）求點到平面的距離.1123.（本小題滿分14分）某商場以100元/件的價格購進一批襯衣，以高于進貨價的價格出售，銷售期有淡季與旺季之分，通過市場調查發(fā)現(xiàn)：①銷售量(件)與襯衣標價(元/件)在銷售旺季近似地符合函數(shù)關系：，在銷售淡季近似地符合函數(shù)關系：，其中為常數(shù)；②在銷售旺季，商場以140元/件的價格銷售能獲得最大銷售利潤；③若稱①中時的標價為襯衣的“臨界價格”，則銷售旺季的“臨界價格”是銷售淡季的“

6、臨界價格”的1.5倍．請根據(jù)上述信息，完成下面問題：(Ⅰ)分別寫出銷售旺季和銷售淡季銷售總利潤(元)與標價(元/件)的函數(shù)關系式(含、或);(Ⅱ)在銷售淡季，該商場要獲得最大銷售利潤，襯衣的標價應定為多少元/件？24.（本小題滿分18分）已知點在拋物線上，點到拋物線的焦點的距離為2，直線與拋物線交于兩點.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）若以為直徑的圓與軸相切，求該圓的方程；（Ⅲ）若直線與軸負半軸相交，求面積的最大值.25．（本小題滿分20分）如圖,，，，，是曲線上的個點，點在軸的正半軸上，是正三角形(是坐標

7、原點).（Ⅰ）求；（Ⅱ）求出點的橫坐標關于的表達式；（Ⅲ）設，若對任意正整數(shù)及,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.1126．（本小題滿分20分）已知實數(shù)滿足,設函數(shù)．(Ⅰ)當，求的極小值；(Ⅱ)若函數(shù)的極小值點與的極小值點相同．求的極大值的最大值,并求取到最大值時的值．11數(shù)學自主招生、保送生考試數(shù)學試卷參考答案一.填充題:本大題共20小題,每小題5分,共計100分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.1.2.3.(2,2)4.5.6.7.8.20149.10.0或111.12.13.14.15.16.①④1

8、7.或18.①②④19.520.8二.解答題:本大題共6小題,共計100分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.21．（本小題滿分14分）解:（Ⅰ）..…………………2分,,…………………4分又,得…………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,即為銳角三角形,均為正數(shù),,當且僅當時等號成立.…………………10分當且僅當時等號成立..,即的最大值的最大值為.…………………14分22.（本小題滿分14分）解:（Ⅰ）設中點為，連結，，因為，所以.…