【題目】_(2007年天津卷)在r上定義的函數(shù)f_(x)是偶函數(shù)_且f_(x[1]

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1、題根研究抽象函數(shù)性質(zhì)尋根一、抽象函數(shù)考場有約如果把用解析式定義的函數(shù)稱為“具體函數(shù)”,那么,不用解析式而直接用性質(zhì)定義的函數(shù)則可稱為“抽象函數(shù)”.抽象函數(shù)在近年的考卷中頻頻出現(xiàn)，如2007年天津卷第7題就是抽象函數(shù)的例子.【例1】在R上定義的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)=f(2–x)，若f(x)在區(qū)間［1，2］上是減函數(shù)，則f(x)A.在區(qū)間［–2，–1］上是增函數(shù)，在區(qū)間［3，4］上是增函數(shù)B.在區(qū)間［–2，–1］上是增函數(shù)，在區(qū)間［3，4］上是減函數(shù)C.在區(qū)間［–2，–1］上是減函數(shù)，在區(qū)間［3，4］上是增函數(shù)D.在區(qū)間［–2，–1］上是減函數(shù)，在區(qū)間［3，4］上是減函數(shù)【

2、分析】習(xí)慣于用具體解析式研究函數(shù)性質(zhì)的人，對用抽象定義的函數(shù)往往感到不習(xí)慣.其實直接用抽象函數(shù)來解決函數(shù)問題，有時比用解析式還方便.本題就是這樣的例子.【解答】B由函數(shù)是偶函數(shù)知函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，函數(shù)在區(qū)間［–2，–1］的單調(diào)性與在區(qū)間［1，2］的單調(diào)性相反，為增函數(shù)；由f(x)=f(2–x)知函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=1對稱，故函數(shù)在區(qū)間［3，4］上的單調(diào)性與在區(qū)間［–2，–1］上的單調(diào)性相反，為減函數(shù)，所以選B.【點評】本題以抽象函數(shù)為載體考查了函數(shù)圖像和函數(shù)的性質(zhì).抽象函數(shù)的解法通常采用“形象法”——畫圖.按給出的性質(zhì)畫出符合性質(zhì)的最簡略圖.如本題所畫的略圖如下——直線段示

3、圖——它符合題目給出的3條性質(zhì).【互動】抽象與形象互動.從函數(shù)略圖上形象看到，這個函數(shù)是個周期函數(shù)，用函數(shù)的抽象性質(zhì)證明如下：由f(x)=f(2–x)和f(–x)=f(x)可以推得f(x)=f(2+x)，由此可知f(x)是一個周期為2的周期函數(shù)的.從形象上還可看到，函數(shù)有無窮條對稱軸x=m(m∈Z).因為x=0和x=1是它的對稱軸，又函數(shù)的周期為2，故x=m都是它的對稱軸.證明從略。【注意】對稱性問題，要弄清：是一個函數(shù)本身的對稱，還是兩個函數(shù)的對稱.如由f(a+x)=f(b–x)得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線對稱，而函數(shù)y=f(a+x10)與y=f(b–x)的圖像關(guān)于直線對稱.二、

4、抽象函數(shù)函數(shù)集合用性質(zhì)定義的抽象函數(shù)，它往往不是一個具體的函數(shù)，有時符合性質(zhì)的函數(shù)是一類函數(shù)，或者說是一類函數(shù)的集合.如例1，符合給定的3條性質(zhì)的函數(shù)除了簡圖中線段表示的函數(shù)外，還有沒有其他的函數(shù)也含有這3條性質(zhì)——我們繼續(xù)研究例1.【例2】在R上定義的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)=f(2–x)，若f(x)在區(qū)間［1，2］上是減函數(shù)，則函數(shù)f(x)可能是：A.sinπxB.–sinπxC.cosπxD.–cosπx【解答】D這4個函數(shù)的周期都是2.符合“偶函數(shù)”條件的只有C和D.而在區(qū)間［1，2］上遞減的只有D.故答案為D.圖像如下【探究】例1中的函數(shù)f(x)，除了上述兩圖像表

5、示的具體函數(shù)以外，還有沒有其他的函數(shù)呢？顯然，這個函數(shù)集合中的“元素”——多到無窮.如以下解析式表示的函數(shù)都是：f(x)=–Acosπx+m，其中A為正數(shù)，m為任意實數(shù).那么，這里的f(x)到底是個什么函數(shù)呢？請不要老是往統(tǒng)一的解析式上尋找.它是一個函數(shù)集合，我們可以用集合的描述法表示如下：A={f(x)

6、f(x)是R上偶函數(shù)，f(x)=f(2–x)，f(x)在區(qū)間［1，2］上遞減}像這樣的抽象函數(shù)還有：B={f(x)

7、f(–x)=f(x)}是偶函數(shù)的集合；C={f(x)

8、f(–x)=–f(x)}是奇函數(shù)的集合；D={f(x)

9、f(x+y)=f(x)+f(y)}是正比例函數(shù)的集合；

10、E={f(x)

11、=}是一次函數(shù)的集合，等等.對這些抽象函數(shù)（集合），隨著其他條件（性質(zhì)）的添加，則抽象函數(shù)逐步提出它們的“子集”或“元素”.如在D中，限制條件f(1)=–2，則得到此集合中的一個“元素”：f(x)=–2x.10三、抽象函數(shù)用方程定義在7大數(shù)學(xué)思想中，人們把“函數(shù)方程思想”放在首位，函數(shù)與方程本來就是一對孿生兄弟.函數(shù)的解析式y(tǒng)=f(x)可視二元方程F(x，y)=0；反之，對二元方程F(x，y)，也可把y視作x的函數(shù).因此，函數(shù)不僅可用解析式定義，還可用方程或不等式定義.【例3】已知函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意實數(shù)m，n都有f(m+n)=f(m)·f(n)，且當(dāng)x

12、>0時01f(x)是R上的減函數(shù)（Ⅲ）設(shè)A={(x，y)

13、f(x2)·f(y2)>f(1)}，B={(x，y)

14、f(ax–y+2)=若A∩B=Φ，試確定實數(shù)a的取值范圍.【分析】這就是用方程和不等式定義的函數(shù)，按命題人思想，并不需要先求函數(shù)解析式（即使是已經(jīng)知道這個函數(shù)是個指數(shù)函數(shù)），而是用函數(shù)的性質(zhì)直接解題.【解（Ⅰ）】f(0)=f(0+0)=f(0)·f(0)=f2(0)即