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《線性代數(shù)課本習(xí)題解答》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、第一章1行列式習(xí)題1.11.證明：（1）首先證明是數(shù)域。因?yàn)?，所以中至少含有兩個(gè)復(fù)數(shù)。任給兩個(gè)復(fù)數(shù)，我們有。因?yàn)槭菙?shù)域，所以有理數(shù)的和、差、積仍然為有理數(shù)，所以。如果，則必有不同時(shí)為零，從而。又因?yàn)橛欣頂?shù)的和、差、積、商仍為有理數(shù)，所以。綜上所述，我們有是數(shù)域。（2）類似可證明是數(shù)域，這兒是一個(gè)素?cái)?shù)。（3）下面證明：若為互異素?cái)?shù)，則。（反證法）如果，則，從而有。由于上式左端是有理數(shù)，而是無理數(shù)，所以必有。所以有或。如果，則，這與是互異素?cái)?shù)矛盾。如果，則有，從而有“有理數(shù)=無理數(shù)”成立，此為矛盾。所以假設(shè)不成立，從而有。同樣可得。（4）因?yàn)橛袩o
2、數(shù)個(gè)互異的素?cái)?shù)，所以由（3）可知在和之間存在無窮多個(gè)不同的數(shù)域。2.解：（1）是數(shù)域，證明略（與上面類似）。（2）就是所有的實(shí)部和虛部都為有理數(shù)的復(fù)數(shù)所組成的集合。而復(fù)數(shù)域。（3）不是數(shù)域，這是因?yàn)樗P(guān)于除法不封閉。例如。3.證明：（1）因?yàn)槎际菙?shù)域，所以，從而。故含有兩個(gè)以上的復(fù)數(shù)。任給三個(gè)數(shù)，則有且。因?yàn)槭菙?shù)域，所以有且。所以。所以是數(shù)域。（2）一般不是數(shù)域。例如，我們有，但是。習(xí)題1.22.解：項(xiàng)的符號(hào)為習(xí)題1.31．證明：根據(jù)行列式的定義==0。所以上式中(-1)的個(gè)數(shù)和(+1)的個(gè)數(shù)一樣多，(-1)是由奇排列產(chǎn)生的，而(+1)是由偶
3、排列產(chǎn)生的。同時(shí)根據(jù)行列式的定義這里包括了所有的階排列，故可以得到全體階排列中奇排列的個(gè)數(shù)與偶排列的個(gè)數(shù)一樣多，各占一半。2．解(1)=；（2）；（3）；（4）=。（5）。3．解：（1）。（2）左端==右端。（3）。（4）原式（先依次）=。。。=。（5）原式（先依次）=。。。=。4．解：設(shè)展開后的正項(xiàng)個(gè)數(shù)為。則由行列式的定義有。又因?yàn)椋ɡ茫ㄏ氯切辛惺剑?。所以有?．證明：（1）左端=右端。（2）利用性質(zhì)5展開。6．解：（3）與上面3（3）類似可得。7．解：利用行列式的初等變換及性質(zhì)5。8．解：。9．證明：設(shè)原行列式=D。則對(duì)D進(jìn)行依次如
4、下變換后所得的行列式D′第一列由題設(shè)中所給的5個(gè)數(shù)字構(gòu)成。從而由行列式的定義可知D′可被23整除。又由行列式的性質(zhì)知D′。因?yàn)?3是素?cái)?shù)，且不可能被23整除，所以D可以被23整除。習(xí)題1.41．解：(1)=；(2)=；(3)方法一+=；方法二逐次均按第2行展開可得同樣結(jié)果,具體解法可參見下例。(4)逐次按第2行展開===；(5)==；(6)==；（7）換行后可得到范德蒙行列式；（8）先把第一行加到第三行，再提取第三行的公因式，換行后可得到范德蒙行列式。2．解：(1)+=；(2)=1+；（此處有筆誤）(3)=，據(jù)此當(dāng)時(shí)，原式=；當(dāng)時(shí)，原式=。3
5、．解：（1）將按第n列展開得:=+=。（2）略（參考課本例中的敘述）。4．解：（1）交換行、列后得到三角塊行列式，然后利用例1.4.6的結(jié)果；或者直接利用Laplace定理。（2）左端先做變換，再做變換，然后利用P30推論。5．解：（1）==；（2）=；（3）利用初等變換。附加：P30推論的證明：證(1)將第r+1列與r列交換,由將新的r列與r-1列交換,如此繼續(xù),直到將第r+1列交換到第1列,這樣共交換r次;再將第r+2列如上方法交換至第2列,也交換了r次,如此繼續(xù)直到將r+s列交換至第s列.于是交換了rs次后得到=將所得行列式的第r+1行
6、依次與第r行,r-1行,……,第1行交換.交換r?次后,r+1行交換至第1行.類似地交換r次后將r+2行交換至第2行,……,交換r次后將第r+s行交換至第s行,于是交換rs次后得:(2),(3)思路與(1)類似,證明過程略去。習(xí)題1.52．解：計(jì)算得=根據(jù)克拉默法則,當(dāng)時(shí),即時(shí),原方程組只有零解。習(xí)題1.61．證明：方法一歸化==右端.方法二歸納法當(dāng)時(shí),=結(jié)論成立.假設(shè)時(shí)結(jié)論成立,即有則當(dāng)時(shí),將的第n列看成1+0,1+0,……,1+,故可表示為2個(gè)行列式之和,而第2個(gè)行列式按第n列展開可算出為從而=+而=.所以=+=+==右端.方法三遞推由證
7、明(二)可知與存在以下遞推關(guān)系:=+所以=+====右端.方法四加邊法===右端。2．證明：（1）注意當(dāng)把行列式按第n列展開時(shí)，得到的遞推公式中有三項(xiàng)，故歸納法第一步應(yīng)驗(yàn)證n=1，2時(shí)均成立。而歸納法第二步應(yīng)假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，去證明當(dāng)n=k時(shí)成立。3．解：（2）先把除第一列外的所有列都加到第一列，然后提出第一列的公因子；再依次；然后按第一列展開，再依次；最后按最后一列展開。4．解：通過倍加行變換易知f(x)的次數(shù)最大為1；又因?yàn)槿绻×悖瑒t有f(x)=0。所以選(D)。5．看自己或別人的作業(yè)。6．解：方法一：利用課本中例1.4.3的方法。方法二
8、：設(shè)。則有f(x)中的系數(shù)為。又因?yàn)椋ǚ兜旅尚辛惺剑?，所以f(x)中的系數(shù)為。。。所以可得。第一章線性方程組習(xí)題2.12．證明.因,說明不全為零,故當(dāng)某個(gè),通過適當(dāng)
