第4章 功和能習(xí)題解答

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1、第4章功和能4-1如圖，質(zhì)量為的小球由長為的輕質(zhì)細繩懸掛在天花板上點，求小球沿圓弧從最低位置a運動到細繩與豎直方向夾角為的過程中重力所做的功。（不考慮空氣阻力）。解方法一，建立如解用圖1所示的直角坐標系，重力,位移細繩與豎直方向夾角為*方法二，如解用圖2，設(shè)質(zhì)點位置與豎直方向夾角為，重力與位移的夾角為（）式中是位移所對應(yīng)的圓弧，，細繩與豎直方向夾角為習(xí)題4-1圖習(xí)題4-1解用圖1習(xí)題4-1解用圖24-2如圖，一根長為，質(zhì)量為的勻質(zhì)木桿，其一端掛在一個光滑的水平軸上而靜止在豎直位置?，F(xiàn)將細桿在拉力的作用下，緩慢地從豎直位置拉到木桿與豎直方向成角的位置。求在此過程中重力

2、矩所作的功（不考慮空氣阻力）。解如圖，設(shè)剛體與豎直方向夾角為，此時重力矩重力矩做的功10習(xí)題4-2圖習(xí)題4-2解用圖4-3質(zhì)量為的質(zhì)點在變力的作用下沿空間曲線運動，其位矢。求力的功率。解4-4質(zhì)量的質(zhì)點在力作用下沿軸運動，其運動方程為，求力在最初2.0秒內(nèi)所做的功。解方法一力在最初2.0秒內(nèi)所做的功方法二，，應(yīng)用動能定理4-5質(zhì)量為的物體沿軸無摩擦地運動，設(shè)時，物體位于原點，速率為零。如果物體在沿著軸方向的作用力的作用下運動了3米，計算物體處于3米處的速度和加速度各為多少？10解力在3米內(nèi)做的功根據(jù)質(zhì)點的動能定理得質(zhì)點處于3米處的力，加速度4-6質(zhì)量為的物體在阻尼介

3、質(zhì)中以低速作直線運動時，阻力近似為速度的線性函數(shù)，式中是正常數(shù)。試證明物體以初速度開始運動到靜止的過程中阻力所做的功正好等于物體損失的動能。證物體開始時速度為后來靜止，則在此過程中損失的動能阻尼力所做的功由牛頓第二定律得或代入功的表達式積分得4-7質(zhì)量分布均勻的柔軟繩子，一部分置于光滑水平桌面，另一部分子沿桌邊下垂，繩全長為。開始時下垂部分為，繩初速度為零，試用動能定理求整個繩全部離開桌面時的速度（設(shè)繩不伸長）。解以整個繩子為研究對象，下垂部分為時，繩子所受合力為。若在此力作用下，繩子下移了，則合力做的元功整個繩全部離開桌面時合力所做的功由動能定理可得4-8鐵錘將一

4、鐵釘擊入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木板內(nèi)的深度成正比。在鐵錘擊第一次時，能將小釘擊入木板內(nèi)，問擊第二次時能擊入多深？假定鐵錘兩次打擊時的速度相同。解由于鐵錘質(zhì)量遠大于釘?shù)馁|(zhì)量，因此可以認為擊釘后鐵錘和釘具有相同的速度，即鐵錘打擊鐵釘時的速度。鐵錘能將小釘擊入木板內(nèi)，是由于鐵錘的動能全部轉(zhuǎn)化為鐵釘克服阻力所作的功，所以可將鐵錘和小釘視作整體，作為研究對象。阻力對它所作的功即為其動能的變化。10設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇椋谝淮螕羧肷疃葹?，則阻力的功設(shè)第二次打擊釘后深度達，則阻力所做的功鐵錘兩次打擊時的速度相同，，解得習(xí)題4-9圖第二次擊入深度為4-9質(zhì)量為的小球系在

5、繩子的一端，繩穿過水平面上一小孔，使小球限制在一光滑水平面上運動，先使小球以速度繞小孔做半徑為的圓周運動，然后緩慢向下拉繩使圓周半徑減小為，求力所做的功。解小球在運動過程中，除受重力、支持力這一對平衡力外，還受繩子的拉力作用，拉力對小孔的力矩為零,滿足角動量守恒條件，設(shè)小球速度的大小變?yōu)?，則或根據(jù)動能定理得力所做的功習(xí)題4-10圖4-10如圖，長為、質(zhì)量為的勻質(zhì)細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈相連并繞其無摩擦地轉(zhuǎn)動，此桿因受到微小擾動在重力作用下由靜止開始繞點轉(zhuǎn)動。以點為重力勢能零點，當角為何值時剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能等于其重力勢能。解經(jīng)分析知，剛體在繞鉸鏈點定軸轉(zhuǎn)動的

6、過程中，只有重力做功，滿足機械能守恒的條件,取點為勢能零點。剛體處于豎直位置，處在如圖所示位置時的角速度為，10剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能等于重力勢能有，即解得習(xí)題4-11圖4-11長為、質(zhì)量為的勻質(zhì)木桿，一端掛在光滑的水平軸上，開始時靜止于豎直位置，現(xiàn)有一粒質(zhì)量為的子彈以水平速度從桿的中點穿過，穿出速度為，如圖所示，求桿的最大擺角。解選子彈和木桿組成的系統(tǒng)為研究對象，子彈和木桿相互作用過程角動量守恒。開始時，系統(tǒng)相對于點的角動量設(shè)相互作用后，木桿轉(zhuǎn)動的角速度為，則系統(tǒng)的角動量得到解得（1）木桿在擺動過程中(圖示位置),所受重力矩為，負號表示與轉(zhuǎn)動方向相反，所做的功應(yīng)用剛體

7、定軸轉(zhuǎn)動的動能定理得將式（1）代入上式，求得最大擺角習(xí)題4-12圖4-12如圖，質(zhì)量為、長為、初始角速度為的勻質(zhì)細桿，可繞光滑垂直軸在粗糙的水平桌面內(nèi)定軸轉(zhuǎn)動，設(shè)細桿與水平桌面間的摩擦系數(shù)為，求細桿在停止轉(zhuǎn)動前所轉(zhuǎn)過的角度。解取為正向，由習(xí)題3-12的結(jié)果知整個細桿所受的摩擦力矩為10“－”表示力矩使桿減速。根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理得解得習(xí)題4-13圖4-13如圖，一半徑為、質(zhì)量為的勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間的摩擦系數(shù)為，令圓盤最初以角速度繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn)，求圓盤在停止轉(zhuǎn)動前所轉(zhuǎn)過的角度。解取為正向，由習(xí)題3-13的結(jié)果知整個圓