幾種特殊類(lèi)型行列式及其計(jì)算

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1、1行列式的定義及性質(zhì)1.1定義級(jí)行列式等于所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積的代數(shù)和,這里是的一個(gè)排列,每一項(xiàng)都按下列規(guī)則帶有符號(hào):當(dāng)是偶排列時(shí),帶正號(hào)，當(dāng)是奇排列時(shí),帶有負(fù)號(hào).這一定義可寫(xiě)成這里表示對(duì)所有級(jí)排列求和.1.2性質(zhì)性質(zhì)1.2.1行列互換,行列式的值不變.性質(zhì)1.2.2某行(列)的公因子可以提到行列式的符號(hào)外.性質(zhì)1.2.3如果某行(列)的所有元素都可以寫(xiě)成兩項(xiàng)的和,則該行列式可以寫(xiě)成兩行列式的和;這兩個(gè)行列式的這一行(列)的元素分別為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)加數(shù)之一,其余各行(列)與原行列式相同.性質(zhì)1.2.4兩行(列)對(duì)應(yīng)元素相同,行列式的值為零.性質(zhì)1.2.5兩

2、行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例,行列式的值為零.性質(zhì)1.2.6某行(列)的倍數(shù)加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上,行列式的值不變.性質(zhì)1.2.7交換兩行(列)的位置,行列式的值變號(hào).122行列式的分類(lèi)及其計(jì)算方法2.1箭形（爪形）行列式這類(lèi)行列式的特征是除了第行(列)或第行(列)及主(次)對(duì)角線上元素外的其他元素均為零，對(duì)這類(lèi)行列式可以直接利用行列式性質(zhì)將其化為上(下)三角形行列式來(lái)計(jì)算.即利用對(duì)角元素或次對(duì)角元素將一條邊消為零.例1計(jì)算階行列式.解將第一列減去第二列的倍，第三列的倍第n列的倍，得.2.2兩三角型行列式這類(lèi)行列式的特征是對(duì)角線上方的元素都是,對(duì)角線下方的元素都是的

3、行列式，初看，這一類(lèi)型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由這類(lèi)行列式變換而來(lái)，對(duì)這類(lèi)行列式，當(dāng)時(shí)可以化為上面列舉的爪形來(lái)計(jì)算，當(dāng)時(shí)則用拆行(列)法來(lái)計(jì)算.例2計(jì)算行列式12.解當(dāng)時(shí).將第行到第行都減去第行，則化為以上所述的爪形，即.用上述特征的方法，則有.當(dāng)時(shí)，用拆行(列)法，則12.化簡(jiǎn)得.而若一開(kāi)始將拆為，則得.由，得.有一些行列式雖然不是兩三角型的行列式，但是可以通過(guò)適當(dāng)變換轉(zhuǎn)化成兩三角型行列式進(jìn)行計(jì)算.例3計(jì)算行列式.解將第一行，第一列，得.12即化為上情形，計(jì)算得.而對(duì)于一些每行(列)上有公共因子但不能像上面一樣在保持行列式不變的基礎(chǔ)上提出公共因子的，則用

4、升階法來(lái)簡(jiǎn)化.例4計(jì)算行列式.解將行列式升階，得.將第行減去第一行的倍，得.這就化為了爪形，按上述特征的方法計(jì)算可得.2.3兩條線型行列式12這類(lèi)行列式的特征是除了主(次)對(duì)角線或與其相鄰的一條斜線所組成的任兩條線加四個(gè)頂點(diǎn)中的某個(gè)點(diǎn)外，其他元素都為零，這類(lèi)行列式可直接展開(kāi)降階，對(duì)兩條線中某一條線元素全為的，自然也直接展開(kāi)降階計(jì)算.例5計(jì)算行列式.解按第一行展開(kāi)可得.例6計(jì)算行列式.解方法1直接展開(kāi)可得12.則.方法2(拉普拉斯定理法)按第一行和第行展開(kāi)得.其余的同法.2.4Hessenberg型行列式這類(lèi)行列式的特征是除主(次)對(duì)角線及與其相鄰的斜線，再加上第或第

5、行外，其他元素均為零，這類(lèi)行列式都用累加消點(diǎn)法，即通常將第一行(列)元素化簡(jiǎn)到只有一個(gè)非零元素，以便于這一行或列的展開(kāi)降階計(jì)算.例7計(jì)算行列式.解將各列加到第一列得12.按第一列展開(kāi)得.2.5三對(duì)角型行列式形如的行列式，這類(lèi)行列式的特征是除這三條斜線上元素外，其他元素均為零，這是一遞推結(jié)構(gòu)的行列式，所有主子式都有同樣的結(jié)構(gòu)，從而以最后一列展開(kāi)，將所得的階行列式再展開(kāi)即得遞推公式.對(duì)這類(lèi)行列式用遞推法.例8計(jì)算行列式.解按第一列展開(kāi)有解特征方程得12.則.例9計(jì)算行列式.解按第一行展開(kāi)得.解特征方程得.則.分別使得則.2.6各行(列)元素和相等的行列式這類(lèi)行列式的特征

6、是其所有行(列)對(duì)應(yīng)元素相加后相等，對(duì)這類(lèi)行列式，將其所有行(列)加到第一行(列)或第行(列)，提取公因式后，再把每一行都減去第一行(列)，即可使行列式中出現(xiàn)大量的零元素.例10計(jì)算行列式.解將第行到第行都加到第行，得12.2.7相鄰兩行(列)對(duì)應(yīng)元素相差的行列式這類(lèi)行列式的特征是大部分以數(shù)字為元素且相鄰兩行(列)元素相差的行列式，對(duì)這類(lèi)行列式，自第一行(列)開(kāi)始，前行(列)減去后行(列)，或自第行(列)開(kāi)始，后行(列)減去前行(列)，即可出現(xiàn)大量元素為或的行列式，再進(jìn)一步化簡(jiǎn)即出現(xiàn)大量的零元素.若相鄰兩行(列)元素相差倍數(shù)，則前(后)行(列)減去后(前)行(列)的

7、倍，可使行列式出現(xiàn)大量的零元素.例11計(jì)算行列式.解依次用前行減去后行，可得.現(xiàn)將第列加到第列至第列，得12.例11計(jì)算階行列式.解這是相鄰兩行(列)相差倍數(shù)，可采用前行減去后行的倍的方法化簡(jiǎn)得.2.8范德蒙德型行列式這類(lèi)行列式的特征是有逐行(列)元素按方冪遞增或遞減，對(duì)這類(lèi)行列式可以轉(zhuǎn)化為范德蒙德行列式來(lái)計(jì)算.例12計(jì)算行列式.解將第行提出，得12.12